Enunciado

  1. Determine ( f ∘ g ) ( x ) e o domínio de f ∘ g .
  2. Determine g ∘ f x e o domínio de g ∘ f .

f x = 3 - x

g x = x + 2

Passo 1

Show de bola, galera! Bora fazer aqui basicamente 2 questões de funções compostas. De uma maneira geral, o que vamos fazer é substituir o x da primeira função com toda a segunda função. Vamos explicar isso genericamente. Digamos que tenhamos 2 funções, a y = α y 3 + β y e uma função b z = γ z 2 + 4 , o que vamos fazer na composição a ∘ b é substituir cada valor de y por γ z 2 + 4 . E na composição b ∘ a vamos fazer o inverso: substituir cada z por α y 3 + β y . De posse desse conhecimento, podemos fazer as duas composições pedidas.

Passo 2

a) Vamos fazer a substituição como foi descrito no Passo 1:

f ∘ g = 3 - x + 2

A aplicação direta já nos fornece a resposta. Para estudarmos o domínio, vamos analisar cada raiz. A interna tem como restrição

x + 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ - 2

A segunda tem como restrição

3 - x ' ≥ 0 ⇒ x ' ≤ 3

Esse x ' foi utilizado para simplificar a argumentação. Perceba que aqui temos um intervalo limitado de operação, uma vez que as duas inequações tem que ser simultâneas. Logo

D = [ - 2,3 ]

Passo 3

b) Fazendo a substituição, teremos

g ∘ f = 3 - x + 2

Novamente, a aplicação direta já nos forneceu a resposta. O estudo do domínio será semelhante ao caso anterior, mas a abordagem seria diferente. Mas no frigir dos ovos, acabaria que chegariamos ao mesmo domínio. Assim

D = - 2 ,   3

Questão concluída com sucesso. Avante!

Resposta

a)

f ∘ g = 3 - x + 2

D = - 2 ,   3

b)

g ∘ f = 3 - x + 2

D = - 2 ,   3