1. Determine ( f ∘ g ) ( x ) e o domínio de f ∘ g .
  2. Determine g ∘ f x e o domínio de g ∘ f .

f x = x - 2

g x = x + 5

Passo 1

Show de bola, galera! Bora fazer aqui basicamente 2 questões de funções compostas. De uma maneira geral, o que vamos fazer é substituir o x da primeira função com toda a segunda função. Vamos explicar isso genericamente. Digamos que tenhamos 2 funções, a y = α y 3 + β y e uma função b z = γ z 2 + 4 , o que vamos fazer na composição a ∘ b é substituir cada valor de y por γ z 2 + 4 . E na composição b ∘ a vamos fazer o inverso: substituir cada z por α y 3 + β y . De posse desse conhecimento, podemos fazer as duas composições pedidas.

Passo 2

a) Vamos fazer a substituição como foi descrito no Passo 1:

f ∘ g = x + 5 - 2

A aplicação direta já nos fornece a resposta. Para estudarmos o domínio, vamos analisar cada raiz. A interna tem como restrição

x + 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ - 5

A segunda tem como restrição

x ' - 2 ≥ 0 ⇒ x ' ≥ 2

Esse x ' foi utilizado para simplificar a argumentação. Agora, perceba que há certos valores permitidos para a raiz interna que não são permitidos para a raiz externa. Por isso, só a segunda desigualdade é verdadeira. Portanto

D = [ 2 ,   ∞ )

Passo 3

b) Fazendo a substituição, teremos

g ∘ f = x - 2 + 5

Novamente, a aplicação direta já nos forneceu a resposta. O estudo do domínio será semelhante ao caso anterior, mas a abordagem seria diferente. Mas no frigir dos ovos, acabaria que chegariamos ao mesmo domínio, já a restrição da raiz interna já seria suficiente para garantir que a resposta estivesse no conjunto dos números reais. Logo

D = [ 2 ,   ∞ )

E assim, concluímos mais uma questão!

Resposta

a)

f ∘ g = x + 5 - 2

D = [ 2 ,   ∞ )

b)

g ∘ f = x - 2 + 5

D = [ 2 ,   ∞ )