1. Determine ( f ∘ g ) ( x ) e o domínio de f ∘ g .
  2. Determine g ∘ f x e o domínio de g ∘ f .

f x = 3 - x

g x = x 2 - 16

Passo 1

Show de bola, galera! Bora fazer aqui basicamente 2 questões de funções compostas. De uma maneira geral, o que vamos fazer é substituir o x da primeira função com toda a segunda função. Vamos explicar isso genericamente. Digamos que tenhamos 2 funções, a y = α y 3 + β y e uma função b z = γ z 2 + 4 , o que vamos fazer na composição a ∘ b é substituir cada valor de y por γ z 2 + 4 . E na composição b ∘ a vamos fazer o inverso: substituir cada z por α y 3 + β y . De posse desse conhecimento, podemos fazer as duas composições pedidas.

Passo 2

a) Vamos fazer a substituição como foi descrito no Passo 1:

f ∘ g = 3 - x 2 - 16

Não é possível simplificar a equação. Portanto, teremos que analisar as duas raízes.

A raiz interna nos dá:

x 2 - 16 ≥ 0 ⇒ x 2 ≥ 16 ⇒ x ≥ 4 ∴ x ≥ 4   o u   x ≤ - 4

E a segunda equação nos fornece

3 - x ' ≥ 0 ⇒ x ' ≤ 3

Esse x ' foi utilizado para simplificar a argumentação.

Juntando as duas soluções, teremos que

D = ( - ∞ , - 4 ]

Passo 3

b) Fazendo a substituição, teremos

g ∘ f = 3 - x 2 - 16 = 3 - x - 16 = - x - 13

O domínio é tal que

- x - 13 ≥ 0 ⇒ x ≤ - 13

Logo

D = ( - ∞ ,   - 13 ]

Resposta

a)

f ∘ g = 3 - x 2 - 16

D = ( - ∞ , - 4 ]

b)

g ∘ f = - x - 13

D = ( - ∞ ,   - 13 ]