1. Determine ( f ∘ g ) ( x ) e o domínio de f ∘ g .
  2. Determine g ∘ f x e o domínio de g ∘ f .

f x = x - 15

g x = x 2 + 2 x

Passo 1

Show de bola, galera! Bora fazer aqui basicamente 2 questões de funções compostas. De uma maneira geral, o que vamos fazer é substituir o x da primeira função com toda a segunda função. Vamos explicar isso genericamente. Digamos que tenhamos 2 funções, a y = α y 3 + β y e uma função b z = γ z 2 + 4 , o que vamos fazer na composição a ∘ b é substituir cada valor de y por γ z 2 + 4 . E na composição b ∘ a vamos fazer o inverso: substituir cada z por α y 3 + β y . De posse desse conhecimento, podemos fazer as duas composições pedidas.

Passo 2

a) Vamos fazer a substituição como foi descrito no Passo 1:

f ∘ g = x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x - 15 = x + 5 x - 3

∴ f ∘ g = x - 3 x + 5

Além disso, o termo na raiz é uma equação do segundo grau que já está no formato de produto das raízes. O estudo do sinal é o seguinte: Para valores entre - 5 e 3 temos que a função é negativa. Fora esses valores, a função é positiva. Assim, o domínio precisa excluir essa parte negativa. Logo

D = - ∞ , - 5 ∪ [ 3 , ∞ )

Passo 3

b) Fazendo a substituição, teremos

g ∘ f = x - 15 2 + 2 ⋅ x - 15 = x - 15 + 2 x - 15

∴ g ∘ f = x - 15 + 2 x - 15

Como há uma raiz, o domínio vai ficar limitado a valores não negativos nessa raiz. Assim

x - 15 ≥ 0 ⇒ x ≥ 15

Logo

D = [ 15 , ∞ )

Viu como foi fácil resolver essa questão? Se concorda comigo, então vamos para a próxima!

Resposta

a)

f ∘ g = x - 3 x + 5

D = - ∞ , - 5 ∪ [ 3 , ∞ )

b)

g ∘ f = x - 15 + 2 x - 15

D = [ 15 , ∞ )