Enunciado

  1. Determine ( f ∘ g ) ( x ) e o domínio de f ∘ g .
  2. Determine g ∘ f x e o domínio de g ∘ f .

f x = 25 - x 2

g x = x - 3

Passo 1

Show de bola, galera! Bora fazer aqui basicamente 2 questões de funções compostas. De uma maneira geral, o que vamos fazer é substituir o x da primeira função com toda a segunda função. Vamos explicar isso genericamente. Digamos que tenhamos 2 funções, a y = α y 3 + β y e uma função b z = γ z 2 + 4 , o que vamos fazer na composição a ∘ b é substituir cada valor de y por γ z 2 + 4 . E na composição b ∘ a vamos fazer o inverso: substituir cada z por α y 3 + β y . De posse desse conhecimento, podemos fazer as duas composições pedidas.

Passo 2

a) Vamos fazer a substituição como foi descrito no Passo 1:

f ∘ g = 25 - x - 3 2 = 25 - x - 3 = 22 - x

O domínio é tal que

22 - x ≥ 0 ⇒ x ≤ 22

Logo

D = ( - ∞ ,   22 ]

Passo 3

b) Fazendo a substituição, teremos

g ∘ f = 25 - x 2 - 3

Não é possível simplificar a equação. Portanto, teremos que analisar as duas raízes.

A raiz interna nos dá:

25 - x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 ≤ 25 ⇒ x ≤ 5

E a segunda restrição nos fornece

x ' - 3 ≥ 0 ⇒ x ' ≥ 3

Esse x ' foi utilizado para simplificar a argumentação.

Juntando as duas soluções, teremos que

D = [ 3 ,   5 ]

E mais uma questão foi finalizada!

Resposta

a)

f ∘ g = 22 - x

D = ( - ∞ ,   22 ]

b)

g ∘ f = 25 - x 2 - 3

D = [ 3 ,   5 ]