Determine uma equação da esfera de centro na origem, sabendo que sua interseção com um plano paralelo ao plano xy e distante duas unidades da origem é uma circunferência de raio 3.

Passo 1

Vamos começar encontrando a equação do plano paralelo ao plano xy e distante 2 unidades da origem. A equação reduzida de qualquer plano é : a x + b y + c z + d = 0 , mas como ele é paralelo ao plano xy, ou seja, paralelo ao eixo x e ao eixo y simultâneamente, a equação do plano não irá conter as variáveis x e y (a=b=0). Sendo assim, c z + d = 0 , c ≠ 0 (1).

Relembrando a fórmula de distância de ponto a plano : D = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

A distância da origem (0,0,0) ao plano é 2, então

D = 2 = a . 0 + b . 0 + c . 0 + d 0 2 + 0 2 + c 2 = d c

2 c = d   o u   - 2 c = d   ( 2 )

Substituindo (2) em (1), temos:

c z + 2 c = 0 ou c z - 2 c = 0

c ( z + 2 ) = 0 ou c ( z - 2 ) = 0

Assim, como c ≠ 0 , ou z=-2, ou z=2.

Então a equação do plano é z = - 2 ou z = 2

Passo 2

Agora vamos encontrar a equação da circunferência de raio 3. A equação de uma circunferência no espaço paralela ao plano xy é ( x - x 0 ) 2 + ( y - y 0 ) 2 = r 2

Como o raio é 3, temos :

( x - x 0 ) 2 + ( y - y 0 ) 2 = 3 2

x 2 - 2 x x 0 + x 0 2 + y 2 - 2 y y 0 + y 0 2 = 9

x 2 + y 2 = 9 + 2 x x 0 - x 0 2 + 2 y y 0 - y 0 2

E a equação da esfera? Ela é dada por ( x - x 0 ) 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2 = R 2 , sendo R o raio da esfera e ( x 0 , y 0 , z 0 )   o centro da esfera.

A nossa esfera é centrada na origem, então x 2 + y 2 + z 2 = R 2   é a equação da esfera.

Passo 3

A interseção do plano com a esfera resulta na circunferência, ou seja, vamos substituir a equação do plano na da esfera e comparar com a equação da circunferência.

z = ± 2   e   x 2 + y 2 + z 2 = R 2

x 2 + y 2 + ( ± 2 ) 2 = R 2

x 2 + y 2 + 4 = R 2

x 2 + y 2 = R 2 - 4

Comparando à equação da circunferência:

x 2 + y 2 = 9 + 2 x x 0 - x 0 2 + 2 y y 0 - y 0 2 e x 2 + y 2 = R 2 - 4

Então:

2 x x 0 = 0

x 0 = 0

E,

2 y y 0 = 0

y 0 = 0

Portanto,

9 = R 2 - 4

13 = R 2

Logo, x 2 + y 2 + z 2 = 13   é a equação da esfera.

Resposta

Logo, x 2 + y 2 + z 2 = 13   é a equação da esfera.