Determine uma equação da esfera de centro na origem, sabendo que sua interseção com um plano paralelo ao plano xy e distante duas unidades da origem é uma circunferência de raio 3.
Passo 1
Vamos começar encontrando a equação do plano paralelo ao plano xy e distante 2 unidades da origem. A equação reduzida de qualquer plano é : , mas como ele é paralelo ao plano xy, ou seja, paralelo ao eixo x e ao eixo y simultâneamente, a equação do plano não irá conter as variáveis x e y (a=b=0). Sendo assim, , (1).
Relembrando a fórmula de distância de ponto a plano :
A distância da origem (0,0,0) ao plano é 2, então
Substituindo (2) em (1), temos:
ou
ou
Assim, como , ou z=-2, ou z=2.
Então a equação do plano é ou
Passo 2
Agora vamos encontrar a equação da circunferência de raio 3. A equação de uma circunferência no espaço paralela ao plano xy é
Como o raio é 3, temos :
E a equação da esfera? Ela é dada por , sendo R o raio da esfera e o centro da esfera.
A nossa esfera é centrada na origem, então é a equação da esfera.
Passo 3
A interseção do plano com a esfera resulta na circunferência, ou seja, vamos substituir a equação do plano na da esfera e comparar com a equação da circunferência.
Comparando à equação da circunferência:
e
Então:
E,
Portanto,
Logo, é a equação da esfera.
Resposta
Logo, é a equação da esfera.