Determine uma equação da esfera que:

  1. É concêntrica com:
  2. x 2 + y 2 + z 2 - 3 x + 4 y = 0

    e contém o ponto 1,2 , 3 ;

  3. Contém os pontos 0,0 , 4 ,   1,2 , 3   e     0,2 , 6     e tem o centro no plano x y .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão ele pede para determinar uma equação da esfera que:

  1. É concêntrica com:
  2. x 2 + y 2 + z 2 - 3 x + 4 y = 0

    e contém o ponto 1,2 , 3 ;

  3. Contém os pontos 0,0 , 4 ,   1,2 , 3   e     0,2 , 6     e tem o centro no plano x y .

Passo 2

Na letra (a) sendo a esférica concêntrica com

x 2 + y 2 + z 2 - 3 x + 4 y = 0

E com ponto 1,2 , 3

Utilizando o teorema de Pitágoras

x 0 = - a 2 = 3 2

y 0 = - b 2 = 2

z 0 = - c 2 = 1

x - 3 2 2 + y + 2 2 + z 2 = 101 4

Passo 3

Na letra (b) sendo os pontos 0,0 , 4 ,   1,23   e   ( 0,2 , 6 )

Sabendo que o centro da esfera pertence ao plano x y e ele forma ( x 0 , y 0 , z 0 ) utilizando a equação de Pitágoras, temos,

x - x 0 2 + y - y 0 2 + z 2 = r 2

Substituindo os pontos dados na equação vamos ter que,

x 0 2 + y 0 2 + 16 = r 2

x 0 - 1 2 + y 0 - 2 2 + 9 2 = r 2

x 0 2 + y 0 - 2 2 + 36 = r 2

Logo temos que,

x 0 = - 13

y 0 = 6

z 0 = 0 ficando x + 13 2 + y - 6 2 + z 2 = 221

Resposta

  1. x - 3 2 2 + y + 2 2 + z 2 = 101 4
  2. x + 13 2 + y - 6 2 + z 2 = 221