Determine uma equação da esfera que tem por diâmetro o segmento de extremos A(8,0,3) e B (-6,2, 5).

Passo 1

Pra começar vamos calcular a distância entre A e B.

Vamos relembrar a fórmula de distância entre dois pontos?

d ( A , B ) = ( x 1 ¨ ¨ ¨ ¨ - x 2 ) 2 + ( y 1 ¨ ¨ ¨ ¨ - y 2 ) 2 + ( z 1 ¨ ¨ ¨ ¨ - z 2 ) 2

Assim, a distância entre A e B será:

d ( A , B ) = ( 8 - ( - 6 ) ) 2 + ( 0 - 2 ) 2 + ( 3 - 5 ) 2

d ( A , B ) = ( 14 ) 2 + ( - 2 ) 2 + ( - 2 ) 2

d ( A , B ) = 196 + 4 + 4

d ( A , B ) = 204  

d ( A , B ) = 2 51

Então, o diâmetro da esfera mede 2 51 , e o raio 51 consequentemente.

Passo 2

Mas e as coordenadas do centro da esfera? O ponto médio de AB é justamente o centro!

Calculamos o ponto médio pela média aritmética de cada uma das coordenadas, como a seguir:

( x m , y m , z m ) = ( x 0 , y 0 , z 0 ) = ( x 1 + x 2 2 , y 1 + y 2 2 , z 1 + z 2 2 )

Então, temos que:

( x 0 , y 0 , z 0 ) = ( 8 - 6 2 , 0 + 2 2 , 3 + 5 2 ) = ( 1,1 , 4 )

Então a esfera tem centro em (1,1,4).

Passo 3

Agora é só substituir na equação geral da esfera!

Equação da esfera, só pra lembrar:

( x - x 0 ) 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2 = r 2

Então, a equação dessa esfera é:

( x - 1 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z - 4 ) 2 = 51 2 ou ( x - 1 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z - 4 ) 2 = 51 .

Resposta

Então, a equação dessa esfera é:

( x - 1 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z - 4 ) 2 = 51 2 ou ( x - 1 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z - 4 ) 2 = 51 .