a) Determine a equação y = a x + b da reta que melhor ajusta os pontos 0,1 ,   1,1 ,   ( 2,2 ) e ( 3,2 ) .

b) Esboce um gráfico ilustrando o item anterior.

c) Use sua resposta ao item (a) para determinar a projeção ortogonal de 1 1 2 2 sobre s p a n 1 1 1 1 ,   0 1 2 3 .

Passo 1

Beleza, pessoal? Vamos fazer mais um!!!

a) O exercício consiste em encontrar o vetor x = a , b T que satisfaz o sistema abaixo:

A x = y ⇔ 0 1 1 1 2 1 3 1 a b = 1 1 2 2  

A matriz estendida desse sistema é dada por:

0 1 | 1 1 1 | 1 2 1 | 2 3 1 | 2

Escalonando-a, obtemos o seguinte:

1 0 | 0 0 1 | 0 0 0 | 1 0 0 | 0

Portanto, o sistema possui uma equação degenerada, donde concluímos que ele não possui solução. Sendo assim, devemos encontrar uma solução de mínimos quadrados z = a , b T , ou seja, um vetor z que satisfaz o sistema abaixo:

A T A z = A T y ⇔

0 1 2 3 1 1 1 1 0 1 1 1 2 1 3 1 a b = 0 1 2 3 1 1 1 1 1 1 2 2 ⇔

14 6 6 4 a b = 11 6

A matriz estendida desse sistema é dada por:

14 6 | 11 6 4 | 6

Escalonando-a, obtemos o seguinte:

14 6 | 11 0 10 7 | 9 7

O que nos oferece a solução a = 0.4 e b = 0.9 . Logo, a reta y = 0.4 x + 0.9 é a que mais ajusta os pontos 0,1 ,   1,1 ,   ( 2,2 ) e ( 3,2 ) .

Passo 2

b)

Passo 3

c) Temos que a projeção ortogonal de y em I m ( A ) é dada por:

A z = 0 1 1 1 2 1 3 1 0.4 0.9 = 0.9 1.3 1.7 2.1

Resposta

a) y = 0.4 x + 0.9 .

b) Imagem acima.

c) 0.9 1.3 1.7 2.1 .