Determine uma equação da superfície esférica que tem centro na reta

y = 1 - x

⎨ z = 1 + 2 x e passa pelos pontos A   =   ( 2,1 , 1 ) e B = ( 1 , - 1,0 ) .

Passo 1

E aí, galera! Tudo beleza? Como a superfície esférica passa pelos pontos A e B . Isso quer dizer que

d ( C , A ) = d ( C , B ) = r

Então, fazendo d ( C , A ) 2 = d ( C , B ) 2 , com C = ( a , b , c ) , A   =   ( 2,1 , 1 ) e B = ( 1 , - 1,0 ) , temos

( a - 2 ) 2 + ( b - 1 ) 2 + ( c - 1 ) 2 = ( a - 1 ) 2 + ( b + 1 ) 2 + c 2

⇒ - 4 a + 4 - 2 b + 1 + c 2 - 2 c + 1 = - 2 a + 1 + 2 b + 1 + c 2

⇒ - 2 a - 4 b - 2 c = - 4

⇒ a + 2 b + c = 2

Passo 2

A reta dada é da seguinte forma:

y = 1 - x

⎨ z = 1 + 2 x

Como o centro pertence a essa reta, então temos:

b = 1 - a

c = 1 + 2 a

Substituindo essa informação na última equação obtida no passo 1, temos:

a + 2 ⋅ ( 1 - a ) + 1 + 2 a = 2

⇒ a + 2 - 2 a + 1 + 2 a = 2

⇒ a + 3 = 2

⇒ a = - 1

Logo, com esse valor de a = - 1 , encontramos que b = 2 e c = - 1 . Então, o centro está no ponto C = ( - 1,2 , - 1 ) . Além disso, podemos determinar o raio da esfera por:

d ( C , B ) = r

⇒ r   = ( - 1 - 1 ) 2 + ( 2 + 1 ) 2 + ( - 1 ) 2

⇒ r   = 4 + 9 + 1   =   14

e a equação da superfície esférica em sua forma reduzida será:

( x + 1 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z + 1 ) 2   = 14 .

Resposta

( x + 1 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z + 1 ) 2   = 14 .