a) Determine as equações paramétricas da projeção da reta

r : x = 3 + 3 t y = - 1 + t z = - 3 + 2 t

sobre o plano,

α : 2 x - y + 2 z = 1

b) Determine o ângulo da reta r com o plano α .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão temos que encontrar as equações paramétricas da projeção da reta dado,

a) Determine as equações paramétricas da projeção da reta

r : x = 3 + 3 t y = - 1 + t z = - 3 + 2 t

sobre o plano,

α : 2 x - y + 2 z = 1

b) Determine o ângulo da reta r com o plano α .

Passo 2

Na letra (a) tendo dado a projeção normal do plano que vale n = ( 2 , - 1,2 )

E o vetor direto da reta sendo r ( 3,1 , 2 ) vamos ter que usa a formulada projeção do vetor diretor na reta r ( 3,1 , 2 ) ficando

P - = p r o y n r = r . n n 2 . n

P - = 3,1 , 2 . 2 , - 1,2 9 . 2 , - 1,2 → P - ( 2 , - 1,2 )

n 2 = 2 2 + - 1 2 + 2 2 = 9

Com isso o vetor projeção sobre o plano fica,

e = r - 1 = 3,1 , 2 - 2 , - 1,2 = ( 1,2 , 0 )

E esta reta coincide com a reta do plano,

2 x - y + 2 z = 1

2 3 + 3 t - - 1 + t + 2 - 3 + 2 t = 1

9 t + 1 = 1

t = 0

Por onde o ponto coincide em ( 3 , - 1,3 )

Com isso a equação paramétrica,

x = 3 + t

y = - 2 + 2 t

z = - 3

Passo 3

E na letra (b) para encontrarmos o ângulo entre a reta e o plano α temos que,

cos ⁡ θ = u . v u . | | v | |  

cos ⁡ θ = 1,2 , 0 3 , - 1,3 1 2 + 2 2 + 0 2 . 3 2 + - 1 2 + 3 2 =     5 70 → θ = arccos ⁡ 5 70

Resposta

a) x = 3 + t

y = - 2 + 2 t

z = - 3

b) θ = arccos ⁡ 5 70