Determine equações da reta r que passa pelo ponto P , é paralela ao plano π e intercepta a reta s . Dados:

P   =   ( 1,2 , - 1 ) ; π : x - y + 2 z - 3 = 0 e s { x - 1 - 1 = y - 2 2 = z - 1 - 3 .

Passo 1

Fala, galerinha! Já vamos começar essa questão testando se o ponto P pertence ao plano:

π : x - y + 2 z - 3 = 0 ⇒ 1 - 2 - 2 - 3 ≠ 0

Então, não. O ponto P não pertence ao plano. Além disso, esse ponto também não pertence a reta s

s { x - 1 - 1 = y - 2 2 = 0 ≠ z - 1 - 3

Como sabemos que a reta r passa por P   =   ( 1,2 , - 1 ) , então só precisamos descobrir quem é o vetor diretor dessa reta, que vamos chamar de v → = ( a , b , c ) . Já que a reta é paralela ao plano x - y + 2 z - 3 = 0 , o que significa que o vetor diretor da reta é ortogonal ao vetor normal do plano. O vetor normal do plano é n → = ( 1 , - 1,2 ) , então

v → ⋅ n → = 0 ⇒ ( a , b , c ) ⋅ ( 1 , - 1,2 ) = 0 ⇒ a - b + 2 c = 0

Vamos reservar essa equação por enquanto.

Passo 2

Por enquanto, a reta r tem equações

r : x = 1 + a m ,   y = 2 + b m ,   z = - 1 + c m

A reta r é concorrente com a reta x - 1 - 1 = y - 2 2 = z - 1 - 3 , que na forma parametrizada é dada por:

s : x - 1 - 1 = y - 2 2 = z - 1 - 3 = t

⇒ x = - t + 1 ,   y = 2 t + 2 ,   z = - 3 t + 1

Sabemos que em algum ponto as duas retas se interceptam e, nesse ponto, as coordenadas das duas retas são iguais. Se a gente considerar que m = 1 nesse ponto de interseção, para facilitar os nosso cálculos, então ficamos com

( 1 ) : 1 + a = - t + 1

( 2 ) : 2 + b = 2 t + 2

( 3 ) : - 1 + c = - 3 t + 1

Lembra da equação que a gente obteve lá no Passo 1? Sim, a - b + 2 c = 0 . É hora de usar essa equação. Vem comigo!

( 1 ) - ( 2 ) + 2 × ( 3 ) : 1 + a - 2 - b - 2 + 2   c = - t + 1 - 2 t - 2 - 6 t + 2

⇒ - 3 + ( a - b + 2   c ) = - 9 t + 1

⇒ - 9 t + 1 = - 3

⇒ t = 4 9

Então, temos o ponto

x = - t + 1 = - 4 9 + 1 = 5 9 ,

y = 2 t + 2 = 8 9 + 2 = 26 9 ,

z = - 3 t + 1 = - 12 9 + 1 = - 3 9

Q = ( 5 9 , 26 9 , - 3 9 )

Passo 3

Agora, temos dois pontos na reta: P   =   ( 1,2 , - 1 ) e Q = ( 5 9 , 26 9 , - 3 9 ) . O vetor diferença desses pontos nos dá a direção da reta:

P Q → = Q - P   = ( 5 9 , 26 9 , - 3 9 ) -   ( 1,2 , - 1 ) = ( - 4 9 , 8 9 , 6 9 ) = 2 9 ( - 2,4 , 3 )

Para deixar a equação da reta mais simples, podemos usar ( - 2,4 , 3 ) como vetor diretor. Assim, com P   =   ( 1,2 , - 1 ) sendo o vetor inicial, obtemos

x = 1 - 2 n ,   y = 2 + 4 n ,   z = - 1 + 3 n .

Resposta

x = 1 - 2 n ,   y = 2 + 4 n ,   z = - 1 + 3 n .