Determine equações da reta que passa pelo ponto , é paralela ao plano e intercepta a reta . Dados:
; e .
Passo 1
Fala, galerinha! Já vamos começar essa questão testando se o ponto pertence ao plano:
Então, não. O ponto não pertence ao plano. Além disso, esse ponto também não pertence a reta
Como sabemos que a reta passa por , então só precisamos descobrir quem é o vetor diretor dessa reta, que vamos chamar de . Já que a reta é paralela ao plano , o que significa que o vetor diretor da reta é ortogonal ao vetor normal do plano. O vetor normal do plano é , então
Vamos reservar essa equação por enquanto.
Passo 2
Por enquanto, a reta tem equações
A reta é concorrente com a reta , que na forma parametrizada é dada por:
Sabemos que em algum ponto as duas retas se interceptam e, nesse ponto, as coordenadas das duas retas são iguais. Se a gente considerar que nesse ponto de interseção, para facilitar os nosso cálculos, então ficamos com
Lembra da equação que a gente obteve lá no Passo 1? Sim, . É hora de usar essa equação. Vem comigo!
Então, temos o ponto
Passo 3
Agora, temos dois pontos na reta: e . O vetor diferença desses pontos nos dá a direção da reta:
Para deixar a equação da reta mais simples, podemos usar como vetor diretor. Assim, com sendo o vetor inicial, obtemos
.
Resposta
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