Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.6 - Ex. 157
Determine equações da reta por e perpendicular à reta .
Passo 1
E aí, gente? Bora lá para mais uma resolução?
Ainda não temos o vetor diretor da reta, que vamos dizer que é , mas temos o ponto inicial . Então, por enquanto, temos as seguintes equações da reta:
Agora, vamos usar a condição da reta ser perpendicular a . Isso quer dizer que é perpendicular ao vetor diretor da segunda reta. Para determinar esse vetor diretor, é só a gente encontrar as equações paramétricas da reta
Então, o vetor diretor dessa reta é . Assim, pela ortogonalidade, obtemos
Assim, temos até o momento
Passo 2
Ainda temos que determinar . Mas, sabemos que em algum momento a reta toca a reta . Como, para , temos o ponto , podemos assumir que ocorre a interseção das duas retas. Nesse ponto, teremos
Vamos multiplicar a segunda equação por e somar com a terceira:
Agora, substituímos na primeira equação
Por fim, vamos substituir o resultado acima na terceira equação e achar qual o valor para
Assim,
Passo 3
Com isso, obtemos
Essa equação paramétrica é equivalente a
Para ver isso, podemos reescrever a primeira equação na forma simétrica:
Agora, multiplicamos tudo por :
Que nos dá justamente,