1. Determine m para que fiquem concorrentes as retas
  2. r   { x - 1 1 = y 2 = z - 3 - 1 e s {   x + 1 2   =   y - m - 1   = z + 1 1 .

  3. Escreva uma equação do plano que essas retas determinam.

Passo 1

  1. Galera! Vocês lembram o que são retas concorrentes? São retas que se encontram em um ponto. Nesse ponto, as equações paramétricas das duas retas são iguais. Então, vamos reescrever as equações das retas do enunciado na forma paramétrica, igualar as equações e descobrir qual m satisfaz as condições. Temos
  2. r   { x - 1 1 = y 2 = z - 3 - 1 = λ

    ⇒ x = λ + 1 ;   y = 2 λ ;   z = 3 - λ

    s {   x + 1 2   =   y - m - 1   = z + 1 1 = γ

    ⇒ x = - 1 + 2 γ ;   y = m - γ ;   z = γ - 1

    Então, no ponto em que ocorre a interseção, as equações paramétricas das duas retas são iguais:

    x = λ + 1 = - 1 + 2 γ ⇒ λ = - 2 + 2 γ

    y = 2 λ = m - γ ⇒ - 4 + 4 γ = m - γ ⇒ m = 5 γ - 4

    z = 3 - λ = γ - 1 ⇒ 3 + 2 - 2 γ = γ - 1 ⇒ 3 γ = 6 ⇒ γ = 2

    onde usamos λ = - 2 + 2 γ na segunda e terceira equações. Agora, usamos γ = 2 para encontrar

    λ = 2 γ = 4

    m = 5 γ - 4 = 10 - 4 = 6

    Passo 2

  3. Os vetores diretores dessas retas são v → r = ( 1,2 , - 1 ) e v → s = ( 2 , - 1,1 ) . Para determinar o plano, precisamos de três vetores e, por enquanto, só temos dois. Para obter o terceiro vetor, vamos fazer λ = 0 na equação da reta r . Isso nos dá o ponto R = ( 1,0 , 3 ) . Além disso, vamos usar um ponto X = ( x , y , z ) que pertence ao plano. Assim, o vetor

R X → = X - R = ( x , y , z ) - ( 1,0 , 3 ) = ( x - 1 , y , z - 3 )

também pertence ao plano. Como os vetores v → r ,   v → s e R X → estão no plano, eles são l.d., ou seja, o determinante deles é nulo:

⎜ x - 1               y                 z - 3 ⎜

⎜         1                         2             - 1           ⎜ = ( x - 1 ) ( 2 - 1 ) - y ( 1 + 2 ) + ( z - 3 ) ( - 1 - 4 ) = 0

⎜         2           - 1                           1           ⎜

⇒ x - 1 - 3 y - 5 z + 15 = 0 ⇒ x - 3 y - 5 z + 14 = 0

Essa é a equação do plano:

π :   x - 3 y - 5 z + 14 = 0

Resposta

  1. m = 6
  2. π :   x - 3 y - 5 z + 14 = 0