Determine os focos e os vértices da eipse

(x^2)/(4) + (y^2)/(16) + (z^2)/(9) = 1

y = 2

Passo 1

Falaaa, blz?? Bom, para começar essa questão a gente tem q primeiro substituir o valor de y por 2, uma vez que nosso estudo é sobre a elipse que é gerada quando fazemos tal substituição

(x^2)/(4) + (4)/(16) + (z^2)/(9) = 1

(x^2)/(4) + (z^2)/(9) = 1 - (1)/(4) = (3)/(4)

Multiplicando ambos lados da equação por 4/3:

(4)/(3) ((x^2)/(4)) + (4)/(3) ((z^2)/(9)) = 1

(x^2)/(3) + (z^2)/((9 (3))/(4)) = 1

Passo 2

Agora fica mais fácil para analisarmos.

Temos nesse caso uma elipse no plano y = 2 que segue essa equação acima. Como o denominador que acompanha o z^2 é maior, temos uma elipse com reta focal paralela ao eixo z.

Temos que:

a^2 = (9 (3))/(4) , l o g o a = (3)/(2) sqrt(3)

b^2 = 3 , l o g o b = sqrt(3)

Usando que na elipse a^2 = b^2 + c^2 , t e m o s :

(9)/(4) 3 + 3 = c^2

c^2 = (12 + 27)/(4)

c = (sqrt(39))/(2)

Passo 3

Ou seja, temos que os vértices sobre a reta focal são:

(0,2 , +- (3)/(2) sqrt(3))

Os vértices sobre a reta não focal são:

(+- sqrt(3) , 2,0)

Os focos são:

(0,2 , +- (sqrt(39))/(2))

Resposta

Vértices reta focal: (0,2 , +- (3)/(2) sqrt(3))

Vértices reta não focal:

(+- sqrt(3) , 2,0)

Focos:

(0,2 , +- (sqrt(39))/(2))