Determine, se for possível, k ∈ R tal que w = 1,0 , 2 + k   ( - 1,2 , 0 ) seja um múltiplo (isto é, seja paralelo) a

a) u = ( - 1,3 , 1 )

b) v = ( - 1,3 , 2 )

Passo 1

a) Para que w seja múltiplo de u , deve existir t ∈ R tal que w = t u . Então, trabalhemos com essa igualdade:

w = t u ⇒

1,0 , 2 + k - 1,2 , 0 = t - 1,3 , 1 ⇒

1,0 , 2 + - k , 2 k , 0 = - t , 3 t , t ⇒

- k + 1,2 k , 2 = - t , 3 t , t ⇒

- k + 1 =   - t 2 k = 3 t 2 = t

Pela última equação do sistema, temos que t = 2 , assim na primeira equação obtemos - k + 1 =   - 2 , ou seja, k = 3 , e na segunda obtemos 2 k = 6 , ou seja, k = 3 . Portanto, o k que buscamos para que w seja múltiplo de u é k = 3 .

Passo 2

b) De acordo com o item anterior, para que w seja múltiplo de v , deve existir t ∈ R tal que:

w = t v ⇒

1,0 , 2 + k - 1,2 , 0 = t - 1,3 , 2 ⇒

1,0 , 2 + - k , 2 k , 0 = - t , 3 t , 2 t ⇒

- k + 1,2 k , 2 = - t , 3 t , 2 t ⇒

- k + 1 =   - t 2 k = 3 t 2 = 2 t

A partir da última equação do sistema, obtemos t = 1 . Logo, a primeira equação do sistema é - k + 1 =   - 1 , ou seja, k = 2 , e a segunda equação é 2 k = 3 , ou seja, k = 3 2 . Portanto, a primeira e a segunda equação possuem soluções distintas, de modo que o sistema linear não possui solução, ou seja, não existe k tal que w seja um múltiplo de v .

Resposta

a) k = 3 .

b) Não existe k tal que w seja um múltiplo de v .