Determine se formar um subespaço vetorial do R 2 subconjunto de todos os vetores:

a) com exceção daqueles paralelos a uma reta dada;

b) cujas coordenadas são maiores ou iguais a zero;

Passo 1

E aí, pessoal, tudo certo? Bora resolver mais esse!!!

Antes de tudo, vamos lembrar como é caracterizado um subespaço vetorial. Seja V um espaço vetorial e U ⊂ V , temos que U é um subespaço vetorial se:

1- 0 ∈ U ;

2- U é fechado para soma vetorial, ou seja, se u ,   v ∈ U então u + v ∈ U ;

3- U é fechado para multiplicação por escalar, ou seja, se k ∈ R e u ∈ U então k u ∈ U ;

Sabendo disso, vamos aos itens!!!

Passo 2

a) Podemos ver pela imagem abaixo, que somando dois vetores não paralelos a reta, podemos obter um vetor paralelo a reta, ou seja, o subconjunto não satisfaz a segunda condição para ser um subespaço vetorial, de modo que podemos concluir imediatamente que ele não é um subespaço vetorial de R 2 .

b) Seja v = ( x , y ) com x > 0   e y > 0 um vetor do nosso subconjunto. Agora, seja k um real com k < 0 , temos que k v = ( k x , k y ) com k x < 0 e k y < 0 , ou seja, k v não pertence ao nosso subconjunto. Sendo assim, o subconjunto não satisfaz a terceira condição para ser um subespaço vetorial, de modo que podemos concluir imediatamente que ele não é um subespaço vetorial de R 2 .

Resposta

a) Não é subespaço vetorial de R 2 .

b) Não é subespaço vetorial de R 2 .