Determine uma fórmula geral para o determinante da matriz n × n cujos únicos elementos não-nulos são a i j   =   1 com i   +   j   =   n   +   1 : M = 0 … 0 … 0 1 1 0 ⋮ ⋰ 1 0 ⋮ ⋮ … 0

Passo 1

Faaala, galeraaa!

Não se assuste com o tamanho da matriz. Note que ela está em sua forma escalonada, ou seja, possui um triângulo de zeros superior. Logo seu determinante será a multiplicação dos valores da diagonal.

M = 0 … 0 … 0 1 1 0 ⋮ ⋰ 1 0 ⋮ ⋮ … 0

Passo 2

Bom, como a ordem da matriz é n , teremos uma diagonal com n elementos. Assim, podemos concluir que:

det ⁡ ( M ) = 0 … 0 … 0 1 1 0 ⋮ ⋰ 1 0 ⋮ ⋮ … 0 = - ( 1 ∙ 1 ∙ 1 ⋯ 1 i + j )

Passo 3

Como temos uma matriz diagonal secundária, i   +   j   =   n   +   1 . Substituindo, temos:

det ⁡ ( M ) = 0 … 0 … 0 1 1 0 ⋮ ⋰ 1 0 ⋮ ⋮ … 0 = - ( 1 ∙ 1 ∙ 1 ⋯ 1 n + 1 )

Passo 4

Logo, de maneira geral:

det ⁡ ( M ) = ( - 1 ) n + 1

Até mais!

Resposta

det ⁡ ( M ) = ( - 1 ) n + 1