Determine os homomorfismos injetores e sobrejetores das opções abaixo:
a) dada por sendo o grupo aditivo dos inteiros e um inteiro dado.
b) dada por , sendo o grupo multiplicativo dos reais.
c) dada por sendo o grupo aditivo dos reais.
d) dada por em que denotam grupos aditivos.
e) dada por em que denotam grupos aditivos.
f) dada por , em que é grupo aditivo e é grupo multiplicativo.
Passo 1
Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim
Então se liga só nessa questão do livro de álgebra moderna do Gerson Iezzi ele pede para determinar os homomorfismos injetores e sobrejetores das opções abaixo:
a) dada por sendo o grupo aditivo dos inteiros e um inteiro dado.
b) dada por , sendo o grupo multiplicativo dos reais.
c) dada por sendo o grupo aditivo dos reais.
d) dada por em que denotam grupos aditivos.
e) dada por em que denotam grupos aditivos.
f) dada por , em que é grupo aditivo e é grupo multiplicativo.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.
Passo 2
Na letra (a), sendo com o grupo aditivo dos inteiros e k um inteiro dado, podemos dizer que,
Ela é injetora se
Na letra (b) sendo , dado por com sendo o grupo multiplicativo podemos dizer que,
Não é injetora e nem sobrejetora
Na letra ( c ) para dado por com sendo o grupo aditivo dos reais podemos dizer que,
Ela é injetora e sobrejetora.
Passo 3
Na letra (d) para dado por em que denotem grupos aditivos, podemos dizer que,
Ela é injetora.
Na letra (e) para dada por podemos dizer que,
Ela é sobrejetora.
E por fim na letra (f) para dada por em que é grupo aditivo e um grupo multiplicativo, podemos dizer que
Ela é injetora e sobrejetora.
Com isso são sobrejetoras e injetoras as seguintes opções:
Injetoras: a, c, d, f.
Sobrejetoras: c, e, f.
Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.
Até a próxima.

Resposta
Injetoras: a, c, d, f.
Sobrejetoras: c, e, f.