Determine if the systems in Exercises 15 and 16 are consistent.

Do not completely solve the systems.

Passo 1

Beleza meus bacanos, espero que estejam prontos para lidar com sistemas hoje, vamos pegando a caneta, o café que como Ludmila diria, é hoje!

Nosso sistema é o seguinte

x 1   +   x 3   =   2

x 2   -   3 x 4   =   3

- 2 x 2   +   3 x 3   +   2 x 4   = 2

3 x 1 + 7 x 4   =   - 5

E a matriz aumentada é a

1 0 3 0 2 0 1 0 - 3 3 0 - 2 3 2 1 3 0 0 7 - 5

Passo 2

Agora verificamos se este sistema é consistente ou não. A maneira de saber se um sistema é consistente é ver se conseguiríamos resolvê-lo. No entanto, a pergunta nos pede para não chegarmos a esse ponto. Então, vamos tentar fazer apenas os passos suficientes para saber se podemos colocá-lo deste jeito ou não.

Mas como saberemos se um sistema é consistente? a resposta é que saberemos que o sistema é inconsistente se chegarmos ao ponto em que temos uma linha da forma

0 0 0 0 a

Onde a não é zero. De fato, por definição, digamos que encontramos a = 3. Então podemos ver que isso torna a solução inconsistente convertendo de volta para a forma de equação:

0 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 + 0 x 4   =   3  

Ou simplesmente

0 = 3

Essa equação é sempre falsa. Então nosso sistema é inconsistente.

saberemos que nosso sistema é consistente se pudermos obter a matriz de coeficientes na forma triangular sem que nenhuma linha apareça na forma acima usando apenas operações elementares de linha

Passo 3

Vamos tentar:

1 0 3 0 2 0 1 0 - 3 3 0 - 2 3 2 1 3 0 0 7 - 5 ~ 1 0 3 0 2 0 1 0 - 3 3 0 0 3 - 4 7 3 0 0 7 - 5 L i n h a 3 = L i n h a 3 + 2 L i n h a 2

1 0 3 0 2 0 1 0 - 3 3 0 0 3 - 4 7 0 0 - 9 7 - 11 L i n h a 4 = L i n h a 4 - 3 L i n h a 1

1 0 3 0 2 0 1 0 - 3 3 0 0 3 - 4 7 0 0 0 - 5 10 L i n h a 4 = L i n h a 4 + 3 L i n h a 3

Observe que usamos apenas a operação de substituição de linha

Neste ponto, nós podemos parar. Observe que podemos facilmente resolver x4 usando a última linha. Então podemos inserir isso na equação associada à terceira linha para resolver x3. Em seguida, insira x3 e x4 na equação associada à segunda linha para resolver x2.

Portanto, é possível resolver todas as variáveis sem obter uma linha de todos os zeros, exceto um número diferente de zero no lado direito. Assim, este sistema é consistente.

Resposta

Consistente.