Enunciado

Determine a interseção do hiperplano x+y+z+w+1=0 com

a )   a   r e t a   d e t e r m i n a d a   p e l o s   p o n t o s   A = 1,3 , - 1,1   e   B = ( 0,1 , 2 , - 1 )

b )   o   p l a n o   d o   e x e r c í c i o   7.2 c

d )   o   h i p e r p l a n o   d o   e x e r c í c i o   7.6 a

Passo 1

a)Para fazermos essa questão vamos começar achando a equação dessa reta:

Se a reta passa pelos pontos A e B, temos que o vetor A B → é paralelo à reta

A B → = B - A = - 1 , - 2,3 , - 2

r :   x = 1 - t y = 3 - 2 t z = - 1 + 3 t w = 1 - 2 t   ,     t   r e a l

Agora iremos colocar esses valores de x,y,z e w na equação do hiperplano:

1 - t + 3 - 2 t + - 1 + 3 t + 1 - 2 t + 1 = 0

5 - 2 t = 0

t = 5 2

Logo, temos x = 1 - 5 2 = - 3 2   ,   y = - 2   ,   z = 13 2   e   w = - 4

Passo 2

b) Para fazermos essa nós vamos usar o seguinte plano:

x = - 1 + s y = 1 + 2 s z = 3 t w = 4 t

Vamos substituir esses valores acima na equação do plano do enunciado:

- 1 + s + 1 + 2 s + 3 t + 4 t + 1 = 0

3 s + 7 t = - 1

s = - 1 - 7 t 3

Voltando na equação paramétrica do plano do exercício 7.2c, colocando o valor de s achado:

x = - 1 + - 1 - 7 t 3 y = 1 + 2 - 1 - 7 t 3 z = 3 t w = 4 t

k :     x = - 4 3 - 7 3 t y = 1 3 - 14 3 t z = 3 t w = 4 t   ,     t   r e a l

Ou seja, a reta k acima (está na forma paramétrica) é a interseção dos planos.

Passo 3

c)Faremos a interseção do plano do enunciado com o plano:

x = - 3 + r y = 1 + r + s z = 2 + s + t w = t  

Essa questão é bem parecida com a anterior, temos só que achar uma das letras (r,s ou t) em função das outras 2 e teremos outro plano que será a interseção.

Substituindo os valores das coordenadas na equação cartesiana do plano:

- 3 + r + 1 + r + s + 2 + s + t + t + 1 = 0

2 r = - 1 - 2 s - 2 t

r =   - 1 2 - s - t

Voltando com esse valor na equação paramétrica do plano:

x = - 3 - 1 2 - s - t y = 1 - 1 2 - s - t + s z = 2 + s + t w = t  

x = - 7 2 - s - t y = 1 2 - t z = 2 + s + t w = t

Resposta

a )   ( - 3 2 , - 2   , 13 2 ,   - 4 )

b )   x = - 4 3 - 7 3 t y = 1 3 - 14 3 t z = 3 t   w = 4 t

c )   x = - 7 2 - s - t y = 1 2 - t z = 2 + s + t w = t

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