Enunciado

Determine lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n . E use o teste da razão para determine se a serie converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.

∑ n = 1 ∞ 3 n n 2 + 4  

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos relembrando alguns detalhe sobre a teoria necessária para resolver nosso exercício.

Ao calcular lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L , temos três possibilidade de resultados:

Se L < 1 , a serie é convergente

Se L > 1 , ou lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = ∞   a série é divergente

Se L = 1 , nada podemos concluir sobre a série

Preparado para atacar nosso problema?

Nossa sequência é ∑ n = 1 ∞ 3 n n 2 + 4  

Passo 2

Calculando limite temos que:

lim n → ∞ ⁡ 1 a n .   a n + 1

lim n → ∞ ⁡ n 2 + 4 3 n .   3 n + 1 n + 1 2 + 4

lim n → ∞ ⁡ n 2 + 4 3 n .   3 n 3 1 n 2 + 2 n + 5

lim n → ∞ ⁡ n 2 + 4 1 .   3 n 2 + 2 n + 5

lim n → ∞ ⁡ 3 n 2 + 12 n 2 + 2 n + 5  

lim n → ∞ ⁡ 3   + 12 n 2 1 + 2 n + 5 n 2 = 3  

Passo 3

Até aí, tudo beleza?

Como L   =   3 ou seja L >   1 , temos uma serie divergente

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

Série divergente

lim n → ∞ ⁡ n 2 + 4 3 n .   3 n + 1 n + 1 2 + 4 = 3