Determine lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n . E use o teste da razão para determine se a serie converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.

∑ n = 1 ∞ 2 n - 1 5 n ( n + 1 )  

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos relembrando alguns detalhe sobre a teoria necessária para resolver nosso exercício.

Ao calcular lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L , temos três possibilidade de resultados:

Se L < 1 , a serie é convergente

Se L > 1 , ou lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = ∞   a série é divergente

Se L = 1 , nada podemos concluir sobre a série

Preparado para atacar nosso problema?

Nossa sequência é ∑ n = 1 ∞ 2 n - 1 5 n ( n + 1 )  

Passo 2

Calculando limite temos que:

lim n → ∞ ⁡ 1 a n .   a n + 1

lim n → ∞ ⁡ 5 n ( n + 1 ) 2 n - 1 .   2 n - 1 + 1 5 n + 1 ( n + 2 )

lim n → ∞ ⁡ 5 n ( n + 1 ) 2 n 2 - 1 .   2 n 5 n 5 1 ( n + 2 )

lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 0,5 .   1 5 ( n + 2 )

lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 2,5 ( n + 2 ) =     0,4

Passo 3

Até aí, tudo beleza?

Como L   =   0,4 ou seja L <   1 , temos uma serie converge

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

Série convergente

lim n → ∞ ⁡ 5 n ( n + 1 ) 2 n - 1 .   2 n - 1 + 1 5 n + 1 ( n + 2 ) = 0,4