Determine lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n . E use o teste da razão para determine se a serie converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.

∑ n = 1 ∞ 5 n n ( 3 n + 1 )

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos relembrando alguns detalhe sobre a teoria necessária para resolver nosso exercício.

Ao calcular lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L , temos três possibilidade de resultados:

Se L < 1 , a serie é convergente

Se L > 1 , ou lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = ∞   a série é divergente

Se L = 1 , nada podemos concluir sobre a série

Preparado para atacar nosso problema?

Nossa sequência é ∑ n = 1 ∞ 5 n n ( 3 n + 1 )  

Passo 2

Calculando limite temos que:

lim n → ∞ ⁡ 1 a n .   a n + 1

lim n → ∞ ⁡ n ( 3 n + 1 ) 5 n .   5 n + 1 ( n + 1 ) ( 3 n + 2 )

lim n → ∞ ⁡ n ( 3 n + 1 ) 5 n .   5 n 5 1 ( n + 1 ) ( 3 n + 1 3 1 )

lim n → ∞ ⁡ n 1 .   5 ( n + 1 ) ( 3 )

lim n → ∞   ⁡ 5 n 3 n + 3  

lim n → ∞   ⁡ 5 n n ( 3 + 3 n )

lim n → ∞   ⁡ 5 ( 3 + 3 n ) = 5 3

Passo 3

Até aí, tudo beleza?

Como L   =   1,66 ou seja L >   1 , temos uma série diverge

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

Série divergente

lim n → ∞ ⁡ n ( 3 n + 1 ) 5 n .   5 n + 1 ( n + 1 ) ( 3 n + 2 ) = 5 3