Determine lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n . E use o teste da razão para determine se a serie converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.

∑ n = 1 ∞ 3 n n 3 + 1

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos relembrando alguns detalhe sobre a teoria necessária para resolver nosso exercício.

Ao calcular lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L , temos três possibilidade de resultados:

Se L < 1 , a serie é convergente

Se L > 1 , ou lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = ∞   a série é divergente

Se L = 1 , nada podemos concluir sobre a série

Preparado para atacar nosso problema?

Nossa sequência é ∑ n = 1 ∞ 3 n n 3 + 1

Passo 2

Calculando limite temos que:

lim n → ∞ ⁡ 1 a n .   a n + 1

lim n → ∞ ⁡ n 3 + 1 3 n .   3 n + 1 n + 1 3 + 1

lim n → ∞ ⁡ n 3 + 1 3 n 2 . (   3 n + 1 n + 1 3 + 1 ) ²

lim n → ∞ ⁡ n 3 + 1 9 n ² .   9 n + 1 ² n + 1 3 + 1

lim n → ∞ ⁡ n 3 + 1 9 n ² .   9 ( n 2 + 2 n + 1 ) n + 1 3 + 1

lim n → ∞ ⁡ ( n 3 + 1 ) ( 9 n 2 + 18 n + 9 ) 9 n 2 [ n + 1 3 + 1 ]

lim n → ∞ ⁡ ( n 3 + 1 ) ( n + 1 ) ² n 2 ( n 3 + 3 n 2 + 3 n + 2 ) = 1

Passo 3

Até aí, tudo beleza?

Como L   =   1 temos que esse teste é inconclusivo

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

Teste é inconclusivo

lim n → ∞ ⁡ n 3 + 1 3 n .   3 n + 1 n + 1 3 + 1 = 1