Determine lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n . E use o teste da razão para determine se a serie converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.

∑ n = 1 ∞ n + 3 n 2 + 2 n + 5  

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos relembrando alguns detalhe sobre a teoria necessária para resolver nosso exercício.

Ao calcular lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L , temos três possibilidade de resultados:

Se L < 1 , a serie é convergente

Se L > 1 , ou lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = ∞   a série é divergente

Se L = 1 , nada podemos concluir sobre a série

Preparado para atacar nosso problema?

Nossa sequência é ∑ n = 1 ∞ n + 3 n 2 + 2 n + 5  

Passo 2

Calculando limite temos que:

lim n → ∞ ⁡ 1 a n .   a n + 1

lim n → ∞ ⁡ n 2 + 2 n + 5 n + 3 .   n + 1 + 3 n + 1 2 + 2 n + 1 + 5

lim n → ∞ ⁡ n 2 + 2 n + 5 n + 3 .   n + 4 n 2 + 2 n + 1 + 2 n + 7

lim n → ∞ ⁡ n 2 + 2 n + 5 ( n + 4 ) n + 3 ( n 2 + 4 n + 8 )

lim n → ∞ ⁡ n 2 + 7 n + 20 3 n 2 + 13 n + 24 = 1 3

Passo 3

Até aí, tudo beleza?

Como L   = 1 3 ou seja L <   1 , temos uma série convergente

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

Série convergente

lim n → ∞ ⁡ n 2 + 2 n + 5 n + 3 .   n + 1 + 3 n + 1 2 + 2 n + 1 + 5 = 1 3