Determine lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n . E use o teste da razão para determine se a serie converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.

∑ n = 1 ∞ 100 n n !  

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos relembrando alguns detalhe sobre a teoria necessária para resolver nosso exercício.

Ao calcular lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L , temos três possibilidade de resultados:

Se L < 1 , a serie é convergente

Se L > 1 , ou lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = ∞   a série é divergente

Se L = 1 , nada podemos concluir sobre a série

Preparado para atacar nosso problema?

Nossa sequência é ∑ n = 1 ∞ 100 n n !  

Passo 2

Calculando limite temos que:

lim n → ∞ ⁡ 1 a n .   a n + 1

lim n → ∞ ⁡ n ! 100 n .   100 n + 1 n + 1 !

lim n → ∞ ⁡ n ! 100 n .   100 n 100 1 n + 1 !

lim n → ∞ ⁡ n ! 1 .   100 n + 1 !

lim n → ∞ ⁡ 100 n ! n + 1 ! = 0

Passo 3

Até aí, tudo beleza?

Como L   =   0 ou seja L <   1 , temos uma série converge

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

Série convergente

lim n → ∞ ⁡ n ! 100 n .   100 n + 1 n + 1 ! = 0