Determine se é linear a operação no espaço Ρ de todos os polinômios em x :

Multiplicação por x 2

Passo 1

E aí, pessoal, beleza? Vamos fazer mais um!!!

Sejam U e V dois espaços vetoriais e T : U → V uma operação. Para que T seja uma operação linear, as duas propriedades abaixo devem ser satisfeitas:

1- T u 1 + u 2 = T u 1 + T u 2 ,   ∀ u 1 , u 2 ∈ U

2- T α u 1 = α T u 1 ,   ∀ α ∈ R ,   ∀ u 1 ∈ U

Sabendo disso, vamos para o exercício.

Passo 2

Vamos mostrar que a operação satisfaz as duas propriedades de linearidade:

1- Sejam p 1 x e p 2 x dois polinômios de P . Temos que:

T p 1 x + p 2 x = x 2 ( p 1 x + p 2 x ) ⇒

T p 1 x + p 2 x = x 2 p 1 x + x 2 p 2 ( x ) ⇒

T p 1 x + p 2 x = T p 1 x + T ( p 2 x )

2- Sejam p 1 ( x ) um polinômio de P e α um número real. Temos que:

T α p 1 x = x 2 α p 1 x ⇒

T α p 1 x = α x 2 p 1 x ⇒

T α p 1 x = α T ( p 1 x )

Dessa maneira, está provado que a operação é linear.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)