Determine o maior intervalo para m tal que o plano x - y - z + m = 0 seja secante à superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 - x + z - 1 4 = 0 . Para m = - 2 , determine o centro e o raio da circunferência, interseção do plano com a superfície dada.

Passo 1

E aí, pessoal? Se liga no raciocínio para resolver essa questão. Vamos calcular a distância do centro ao plano e usar o fato de que essa distância tem que ser menor que o raio da esfera para que o plano seja secante à superfície esférica. E, para descobrir o raio e o centro da esfera, precisamos escrever a equação da esfera na forma reduzida:

x 2 + y 2 + z 2 - x + z - 1 4 = 0

⇒ x 2 - x + 1 4 - 1 4 + y 2 + z 2 + z + 1 4 - 1 4 - 1 4 = 0

⇒ ( x - 1 2 ) 2 + y 2 + ( z + 1 2 ) 2 = 3 4

Então, o centro da esfera é em C = ( 1 2 , 0 , - 1 2 ) e o raio é r = 3 2 .

Passo 2

Beleza! Agora só precisamos usar a fórmula da distância

d ( π , P ) = | a x + b y + c z + d | a 2 + b 2 + c 2

para o plano x - y - z + m = 0 e o ponto C = ( 1 2 , 0 , - 1 2 ) :

d ( π , C ) = | 1   ⋅   1 2   -   1   ⋅   0   - 1   ⋅   ( -   1 2 )   +   m | 1 + 1 + 1 = | 1   +   m | 3

Como essa distância tem que ser menor que o raio da esfera:

| 1 + m | 3 < 3 2 ⇒ | 1 + m | < 3 2

⇒ 1 + m < 3 2   o u   - 1 - m < 3 2

⇒ m < 1 2   o u   m > - 5 2

Então, - 5 2 < m < 1 2   .

Passo 3

Quando m = - 2 , temos o plano x - y - z - 2 = 0 . Para descobrir o raio da circunferência, vamos usar o nosso velho conhecido teorema de Pitágoras:

r 2 = r ' 2 + [ d ( π , C ) ] 2 ⇒ r ' 2 = r 2 - [ d ( π , C ) ] 2

Já temos r e d ( π , C ) é dado por:

d ( π , C ) = | 1 ⋅ 1 2 - 1 ⋅ 0 - 1 ⋅ ( -   1 2 ) - 2 | 1 + 1 + 1 = 1 3

⇒ [ d ( π , C ) ] 2 = 1 3

Com isso,

r ' 2 = r 2 - [ d ( π , C ) ] 2 = 3 4 - 1 3 = 9 - 4 12 = 5 12

⇒ r ' = 5 12

Passo 4

O vetor que sai do centro da esfera C até o centro da circunferência C ' é proporcional ao vetor normal do plano x - y - z - 2 = 0 , que é n → = ( 1 , - 1 , - 1 ) . Então,

C C ' → = k n → = ( k , - k , - k )

Além disso, o módulo desse vetor é igual a d ( π , C ) = 1 3 , ou seja,

3 k 2 = 1 3 ⇒ k = 1 3

Assim, temos C C ' → = 1 3 ( 1 , - 1 , - 1 ) . Por outro lado, C C ' → = C ' - C . Então

C ' = C + C ' C → = ( 1 2 , 0 , - 1 2 ) + 1 3 ( 1 , - 1 , - 1 )

⇒ C ' = ( 3 + 2 6 , - 1 3 , - 3 - 2 6 )

⇒ C ' = ( 5 6 , - 1 3 , - 5 6 )

Resposta

- 5 2 < m < 1 2

r ' = 5 12

C ' = ( 5 6 , - 1 3 , - 5 6 )