Determine o maior intervalo para tal que o plano seja secante à superfície esférica . Para , determine o centro e o raio da circunferência, interseção do plano com a superfície dada.
Passo 1
E aí, pessoal? Se liga no raciocínio para resolver essa questão. Vamos calcular a distância do centro ao plano e usar o fato de que essa distância tem que ser menor que o raio da esfera para que o plano seja secante à superfície esférica. E, para descobrir o raio e o centro da esfera, precisamos escrever a equação da esfera na forma reduzida:
Então, o centro da esfera é em e o raio é .
Passo 2
Beleza! Agora só precisamos usar a fórmula da distância
para o plano e o ponto :
Como essa distância tem que ser menor que o raio da esfera:
Então, .
Passo 3
Quando , temos o plano . Para descobrir o raio da circunferência, vamos usar o nosso velho conhecido teorema de Pitágoras:
Já temos e é dado por:
Com isso,
Passo 4
O vetor que sai do centro da esfera até o centro da circunferência é proporcional ao vetor normal do plano , que é . Então,
Além disso, o módulo desse vetor é igual a , ou seja,
Assim, temos . Por outro lado, . Então