Determine a matriz inversa da matriz formada por: blocos de zeros e matriz identidade

0 I I 0

Passo 1

E aí, pessoal, bora resolver mais um??!!

Sejam A = A 11 A 12 A 21 A 22 e B = B 11 B 12 B 21 B 22 duas matrizes em blocos. Supondo que os tamanhos dos blocos sejam compatíveis para que os produtos que aparecem na fórmula abaixo sejam possíveis, temos que:

A B = A 11 B 11 + A 12 B 21 A 11 B 12 + A 12 B 22 A 21 B 11 + A 22 B 21 A 21 B 12 + A 22 B 22

Sabendo disso, vamos para o exercício!!!

Passo 2

Seja A = 0 I I 0 , queremos descobrir A - 1 = A 11 A 12 A 21 A 22 , tal que:

0 I I 0 A 11 A 12 A 21 A 22 = I 0 0 I ⇒

0 A 11 + I A 21 0 A 12 + I A 22 I A 11 + 0 A 21 I A 12 + 0 A 22 = I 0 0 I ⇒

A 21 A 22 A 11 A 12 =   I 0 0 I

Portanto, A 11 = 0 ,   A 12 = I ,   A 21 = I e A 22 = 0 , donde concluímos que a matriz inversa é dada por:

A - 1 = 0 I I 0

Resposta

A - 1 = 0 I I 0