Determine a matriz inversa da matriz formada por: blocos de zeros, matriz identidade e A (que não precisa ser invertível).

I A 0 I

Passo 1

E aí, pessoal, bora resolver mais um??!!

Sejam A = A 11 A 12 A 21 A 22 e B = B 11 B 12 B 21 B 22 duas matrizes em blocos. Supondo que os tamanhos dos blocos sejam compatíveis para que os produtos que aparecem na fórmula abaixo sejam possíveis, temos que:

A B = A 11 B 11 + A 12 B 21 A 11 B 12 + A 12 B 22 A 21 B 11 + A 22 B 21 A 21 B 12 + A 22 B 22

Sabendo disso, vamos para o exercício!!!

Passo 2

Seja M = I A 0 I , queremos descobrir M - 1 = M 11 M 12 M 21 M 22 , tal que:

I A 0 I M 11 M 12 M 21 M 22 = I 0 0 I ⇒

I M 11 + A M 21 I M 12 + A M 22 0 M 11 + I M 21 0 M 12 + I M 22 = I 0 0 I ⇒

M 11 + A M 21 M 12 + A M 22 M 21 M 22 =   I 0 0 I

A primeira coluna da segunda linha nos dá M 21 = 0 e a segunda coluna da segunda linhas nos dá M 22 = I , de modo que na primeira coluna da primeira linha ficamos com M 11 + A 0 = I ⇒ M 11 = I e na segunda coluna da primeira linha ficamos com M 12 + A I = 0 ⇒ M 12 + A = 0 ⇒ M 12 = - A , respectivamente. Sendo assim, a matriz inversa é dada por:

M - 1 = I - A 0 I

Resposta

M - 1 = I - A 0 I