Determine h na matriz 5   - 2   0   3     6   - 1   h   0     0   0   0   0     5   4   0   1     de modo que o autoespaço associado

ao autovalor 5 seja bidimensional.

Passo 1

O primeiro passo pra desenvolvermos essa questão é subtrair o autoespaço dado, 5, da diagonal da matriz, assim:

5 - 5   - 2   0   3 - 5     6   - 1   h   0     0   0   0   0     5 - 5   4   0   1 - 5     = 0   - 2   0   - 2     6   - 1   h   0     0   0   0   0     0   4   0   - 4    

Este é o sistema de equações lineares, podemos resolver o sistema por eliminação de Gauss:

0   - 2   0   - 2     6   - 1   h   0     0   0   0   0     0   1   0   - 4     = 0   0   0     1   0   0       - 3   h - 6   0     0   0   1      

Passo 2

Como que faz agora? Bom, aqui temos 2 possibilidades h=6 ou h≠6, pra escolher qual usar a gente vai pensar na condição imposta no comando, SE a gente quer um espaço bidimensional, então, obrigatoriamente, (Lembra disso que é importante demaaais), teremos 2 variáveis livres!!

Então agora tá tranquilo, porque olha só, a gente já zerou uma linha na eliminação de Gauss, de qual outra forma é possível zerar outra? Basta mexer no valor de h!! Ou seja, se considerarmos h=6, teremos:

0   0   0     1   0   0       - 3   h - 6   0     0   0   1       = 0   0   0     1   0   0       - 3   0   0     0   0   1       = 0   0     1   0       - 3   0     0   1      

E pronto, por consequência o autoespaço gerado é bidimensional se h=6 ☺

Resposta

h=6