Determine m e n de modo que a reta

⎧ x   = 1   +   3 λ

        ⎢ y   = 2   - 2 λ

      ⎩ z   = - 1   - 2 λ

esteja contida em 2 x   + m y + n z - 5 = 0 . Para esses valores de m e n , escreva uma equação do plano que passa pela reta e é perpendicular ao plano dado.

Passo 1

Fala, galera! Para que a reta esteja contida no plano, nós precisamos que os pontos da reta estejam contidos nesse plano. Como queremos determinar duas incógnitas, m e n , então vamos procurar dois pontos. Para λ = 0 , temos A = ( 1,2 , - 1 ) e para λ = 1 , temos B = ( 4,0 , - 3 ) . Substituindo as coordenadas desses pontos na equação do plano, obtemos

2 ⋅ 1 + m ⋅ 2 + n   ⋅ ( - 1 ) - 5 = 0   ⇒   2 m   - n   = 3

2 ⋅ 4   + m ⋅ 0 + n ⋅ ( - 3 ) - 5 = 0   ⇒ - 3 n   = - 3   ⇒   n   =   1

Agora, substituímos   n = 1 na primeira equação:

  2 m - n = 3   ⇒ 2 m - 1 = 3 ⇒ m = 2

Ou seja, para que a reta esteja contida no plano, precisamos que n = 1 e m = 2 .

Resposta

m = 2 e   n = 1