Determine k de modo que o vetor ( 1,3 , k ) seja uma combinação linear dos vetores ( 2 , - 1,0 ) e ( 1,1 , - 2 ) .

Passo 1

Fala, galera! Vocês já estão ligados que para que o vetor ( 1,3 , k ) seja uma combinação linear dos vetores ( 2 , - 1,0 ) e ( 1,1 , - 2 ) , devemos ter

( 1,3 , k ) = α ( 2 , - 1,0 ) + β ( 1,1 , - 2 ) ⇒ ( 1,3 , k ) = ( 2 α + β , β - α , - 2 β )

Então, temos o seguinte sistema de equações

2 α + β = 1

β - α = 3

- 2 β = k

Subtraindo a segunda equação da primeira:

2 α + β - β + α = 1 - 3 ⇒ 3 α = - 2 ⇒ α = - 2 3

Agora, substituindo α = - 2 3 na segunda equação, obtemos

β - α = 3 ⇒ β + 2 3 = 3 ⇒ β = 7 3

Finalmente, substituímos β = 7 3 na terceira equação

k = - 2 β = - 14 3

Resposta

k = - 14 3