Determine o núcleo de cada homomorfismo dado as opções abaixo:

a) f : Z → Z dada por f x = k x , sendo Z o grupo aditivo dos inteiros e k um inteiro dado.

b) f : R * → R * dada por f x = | x | , sendo R * o grupo multiplicativo dos reais.

c) f : R → R dada por f x = x + 1 , sendo R o grupo aditivo dos reais.

d) f : Z → Z dada por f x = ( x , 0 ) em que Z   e   Z   x   Z denotam grupos aditivos.

e) f : Z   x   Z → Z dada por f x , y = x em que Z   e   Z   x   Z denotam grupos aditivos.

f) f : Z → R + * dada por f x = 2 x , em que Z é grupo aditivo e R + * é grupo multiplicativo.

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra moderna do Gerson Iezzi ele pede para determinar o núcleo de cada homomorfismo dado as opções abaixo:

a) f : Z → Z dada por f x = k x , sendo Z o grupo aditivo dos inteiros e k um inteiro dado.

b) f : R * → R * dada por f x = | x | , sendo R * o grupo multiplicativo dos reais.

c) f : R → R dada por f x = x + 1 , sendo R o grupo aditivo dos reais.

d) f : Z → Z   x   Z dada por f x = ( x , 0 ) em que Z   e   Z   x   Z denotam grupos aditivos.

e) f : Z   x   Z → Z dada por f x , y = x em que Z   e   Z   x   Z denotam grupos aditivos.

f) f : Z → R + * dada por f x = 2 x , em que Z é grupo aditivo e R + * é grupo multiplicativo.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Na letra (a), sendo f x = k x , com Z o grupo aditivo dos inteiros e k um inteiro dado, vamos ter que,

0 ,   s e   k ≠ 0   o u   Z   s e   k = 0

Na letra (b) sendo f : R * → R * , dado por f x = | x | com R * sendo o grupo multiplicativo vamos ter que,

[ 1 , - 1 ]

Na letra ( c ) para f : R → R dado por f x = x + 1 com R sendo o grupo aditivo dos reais vamos ter que,

( 0,1 )

Passo 3

Na letra (d) para f : Z → Z   x   Z dado por f x = ( x , 0 ) em que Z   e   Z   x   Z denotem grupos aditivos, vamos ter que,

{ 0 }

Na letra (e) para f : Z   x   Z → Z dada por f x , y = x vamos ter que,

{ ( 0 , y ) | y ∈ Z }

E por fim na letra (f) para f : Z → R + * dada por f x = 2 x em que Z é grupo aditivo e R + * um grupo multiplicativo, vamos ter que

{ 0 }

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) 0 ,   s e   k ≠ 0   o u   Z   s e   k = 0

b) [ 1 , - 1 ]

c) ( 0,1 )

d) { 0 }

e) { ( 0 , y ) | y ∈ Z }

f) { 0 }