Determine se é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
Passo 1
Olááá, tudo bem?
Nesta questão vamos trabalhar com domínio (conjunto de todas as entradas possíveis da função) e imagem (subconjunto do contradomínio formado por todos os elementos correspondentes de algum elemento do domínio).
- Para que uma função seja par para todo domínio de , então o seu gráfico apresentará simetria em relação ao eixo .
- Para que uma função seja ímpar para todo domínio de , então o seu gráfico apresentará simetria em relação a origem.
Grande parte das funções não se encaixam em nenhum dos casos acima. Há duas formas de verificar se a função é par, ímpar ou nenhum dos dois:
- fazer testes para averiguar a igualdade expressa em cada caso;
- plotar o gráfico.
Passo 2
Compreendendo os conceitos do Passo 1, vamos começar a resolução.
- Observando a função, notamos que dentro da raiz temos termos que estão elevados a potências pares (2 e 4) o que nos faz acreditar na possibilidade de uma simetria em relação ao eixo .
- Para que a função seja par , então vamos substituir na equação
- Já sabemos que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo . A seguir está plotado o gráfico da função.
- Observando a função, notamos que temos termos que estão elevados a potências ímpares (5, 3 e 1) o que nos faz acreditar na possibilidade de uma simetria em relação a origem.
- Para que a função seja par , então vamos substituir na equação
- Já sabemos que o gráfico da função é simétrico em relação a origem. A seguir está plotado o gráfico da função.
- Observando a função, intuitivamente concluímos que o resultado do produto vai ter um termo elevado a segunda potência e outro elevado a primeira potência. Para facilitar a visualização vamos estender a equação
Iremos aplicar os dois métodos, para que não reste dúvidas no caso de haver mais de um ponto mínimo ou máximo na função.
Observe que o resultado nos diz que a função é par porque ela satisfaz a condição do Passo 1 . Uma outra opção é adotar, arbitrariamente, um valor de . Vamos fazer esse teste para que você perceba que iremos encontrar o mesmo resultado.
Para

As nossas suposições iniciais estavam corretas, a função tem simetria no eixo e satisfez a condição . Portanto, a função é par.
Passo 3
Iremos aplicar os dois métodos, para que não reste dúvidas no caso de haver mais de um ponto mínimo ou máximo na função.
Observe que o resultado nos diz que a função é ímpar porque ela satisfaz a condição do Passo 1 . Vamos fazer o teste com um valor numérico qualquer como fizemos na letra a)
Para

As nossas suposições iniciais estavam corretas, a função tem simetria em relação a origem e satisfez a condição . Portanto, a função é ímpar.
Só falta mais um item, vem comigo!!
Passo 4
Devido ao primeiro termo, sabemos que o gráfico é uma parábola, entretanto, como o segundo termo também depende de , o gráfico será deslocado no eixo e eixo ocasionando na não simetria em relação ao eixo e a origem.
Iremos aplicar os dois métodos, e para que não reste dúvidas no caso de haver mais de um ponto mínimo ou máximo na função.
- Para que a função seja par , então vamos substituir na equação
- Já sabemos que o gráfico da função não é simétrico em relação ao eixo e a origem. A seguir está plotado o gráfico da função.
Qualquer valor negativo elevado a uma potência par, seu resultado será positivo. Caso a potência seja ímpar, seu resultado será negativo.
Observe que o resultado não satisfaz a condição e do Passo 1 e . Vamos fazer o teste com um valor numérico qualquer como fizemos na letra a) e b)
Para

As nossas suposições iniciais estavam corretas, a função é uma parábola, mas foi deslocada da origem, dessa forma não tem simetria em relação ao eixo e a origem e não satisfez as condições e . Portanto, a função não é par e nem ímpar.
Até a próxima!! =]