Determine se f é par, ímpar ou nem par nem ímpar.

  1. f (x) = sqrt(3 x^4 + 2 x^2 - 5)
  2. f (x) = 6 x^5 - 4 x^3 + 2 x
  3. f (x) = x ( x - 5 )

Passo 1

Olááá, tudo bem?

Nesta questão vamos trabalhar com domínio (conjunto de todas as entradas possíveis da função) e imagem (subconjunto do contradomínio formado por todos os elementos correspondentes de algum elemento do domínio).

  1. Para que uma função seja par -> f (- x) = f ( x ) para todo domínio de f , então o seu gráfico apresentará simetria em relação ao eixo Y .
  2. Para que uma função seja ímpar -> f (- x) = - f ( x ) para todo domínio de f , então o seu gráfico apresentará simetria em relação a origem.

Grande parte das funções não se encaixam em nenhum dos casos acima. Há duas formas de verificar se a função é par, ímpar ou nenhum dos dois:

  1. fazer testes para averiguar a igualdade expressa em cada caso;
  2. plotar o gráfico.

Passo 2

Compreendendo os conceitos do Passo 1, vamos começar a resolução.

  1. Observando a função, notamos que dentro da raiz temos termos que estão elevados a potências pares (2 e 4) o que nos faz acreditar na possibilidade de uma simetria em relação ao eixo Y .
  2. Iremos aplicar os dois métodos, 1 . e 2 . para que não reste dúvidas no caso de haver mais de um ponto mínimo ou máximo na função.

    1. Para que a função seja par f (- x) = f ( x ) , então vamos substituir na equação
    2. f (- x) = f (x)

      = sqrt(3 ( - x )^4 + 2 ( - x )^2 - 5)

      = sqrt(3 x^4 + 2 x^2 - 5)

      Observe que o resultado nos diz que a função é par porque ela satisfaz a condição i ) do Passo 1 -> f (- x) = f (x) . Uma outra opção é adotar, arbitrariamente, um valor de x . Vamos fazer esse teste para que você perceba que iremos encontrar o mesmo resultado.

      Para x = 2

      f (- x) = f (x)

      sqrt(3 xx ( - 2 )^4 + 2 xx ( - 2 )^2 - 5) = sqrt(3 xx 2^4 + 2 xx 2^2 - 5)

      sqrt(3 xx 16 + 2 xx 4 - 5) = sqrt(3 xx 16 + 2 xx 4 - 5)

      sqrt(48 + 8 - 5) = sqrt(48 + 8 - 5)

      sqrt(51) = sqrt(51)

    3. Já sabemos que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo Y . A seguir está plotado o gráfico da função.

    As nossas suposições iniciais estavam corretas, a função tem simetria no eixo Y e satisfez a condição i ) . Portanto, a função é par.

    Passo 3

  3. Observando a função, notamos que temos termos que estão elevados a potências ímpares (5, 3 e 1) o que nos faz acreditar na possibilidade de uma simetria em relação a origem.
  4. Iremos aplicar os dois métodos, 1 . e 2 . para que não reste dúvidas no caso de haver mais de um ponto mínimo ou máximo na função.

    1. Para que a função seja par f (- x) = f ( x ) , então vamos substituir na equação
    2. f (- x) = f (x)

      = 6 (- x)^5 - 4 (- x)^3 + 2 (- x)

      = - 6 x^5 + 4 x^3 - 2 x

      Observe que o resultado nos diz que a função é ímpar porque ela satisfaz a condição i i ) do Passo 1 -> f (- x) = - f (x) . Vamos fazer o teste com um valor numérico qualquer como fizemos na letra a)

      Para x = 2

      f (- x) = f (x)

      6 xx (- 2)^5 - 4 xx (- 2)^3 + 2 xx (- 2) = 6 xx (2)^5 - 4 xx (2)^3 + 2 xx (2)

      6 xx (- 32) - 4 xx (- 8) - 4 = 6 xx 32 - 4 xx 8 + 4

      - 192 + 32 - 4 = 192 - 32 + 4

      - 164 = 1 64

    3. Já sabemos que o gráfico da função é simétrico em relação a origem. A seguir está plotado o gráfico da função.

    As nossas suposições iniciais estavam corretas, a função tem simetria em relação a origem e satisfez a condição i i ) . Portanto, a função é ímpar.

    Só falta mais um item, vem comigo!!

    Passo 4

  5. Observando a função, intuitivamente concluímos que o resultado do produto vai ter um termo elevado a segunda potência e outro elevado a primeira potência. Para facilitar a visualização vamos estender a equação

x^2 - 5 x

Devido ao primeiro termo, sabemos que o gráfico é uma parábola, entretanto, como o segundo termo também depende de x , o gráfico será deslocado no eixo X e eixo Y ocasionando na não simetria em relação ao eixo Y e a origem.

Iremos aplicar os dois métodos, 1 . e 2 . para que não reste dúvidas no caso de haver mais de um ponto mínimo ou máximo na função.

  1. Para que a função seja par f (- x) = f ( x ) , então vamos substituir na equação
  2. f (- x) = f (x)

    = (- x)^2 - 5 ( - x )

    Qualquer valor negativo elevado a uma potência par, seu resultado será positivo. Caso a potência seja ímpar, seu resultado será negativo.

    = x^2 + 5 x

    Observe que o resultado não satisfaz a condição i ) e i i ) do Passo 1 -> f (- x) = - f (x) e f (- x) = - f ( x ) . Vamos fazer o teste com um valor numérico qualquer como fizemos na letra a) e b)

    Para x = 1

    f (- x) = f (x)

    (- 1)^2 - 5 xx (- 1) = 1^2 - 5 xx 1

    1 + 5 = 1 - 5

    6 = - 4

  3. Já sabemos que o gráfico da função não é simétrico em relação ao eixo Y e a origem. A seguir está plotado o gráfico da função.

As nossas suposições iniciais estavam corretas, a função é uma parábola, mas foi deslocada da origem, dessa forma não tem simetria em relação ao eixo Y e a origem e não satisfez as condições i ) e i i ) . Portanto, a função não é par e nem ímpar.

Até a próxima!! =]

Resposta

a ) A f u n ç ã o é p a r

b ) A f u n ç ã o é í m p a r

c ) A f u n ç ã o n ã o é p a r e n e m í m p a r