Determine se f é par, ímpar ou nem par nem ímpar.

  1. f (x) = 5 x^3 + 2 x
  2. f (x) = |x| - 3
  3. f (x) = (8 x^3 - 3 x^2)^3

Passo 1

Olááá, tudo bem?

Nesta questão vamos trabalhar com domínio (conjunto de todas as entradas possíveis da função) e imagem (subconjunto do contradomínio formado por todos os elementos correspondentes de algum elemento do domínio).

  1. Para que uma função seja par -> f (- x) = f ( x ) para todo domínio de f , então o seu gráfico apresentará simetria em relação ao eixo Y .
  2. Para que uma função seja ímpar -> f (- x) = - f ( x ) para todo domínio de f , então o seu gráfico apresentará simetria em relação a origem.

Grande parte das funções não se encaixam em nenhum dos casos acima. Há duas formas de verificar se a função é par, ímpar ou nenhum dos dois:

  1. fazer testes para averiguar a igualdade expressa em cada caso;
  2. plotar o gráfico.

Passo 2

Compreendendo os conceitos do Passo 1, vamos começar a resolução.

  1. Observando a função, notamos que um dos termos está elevado a terceira potência o que nos faz acreditar na possibilidade de uma simetria na origem.
  2. Iremos aplicar os dois métodos, 1 . e 2 . para que não reste dúvidas no caso de haver mais de um ponto mínimo ou máximo na função.

    1. Para que a função seja par f (- x) = f ( x ) , então vamos substituir na equação
    2. f (- x) = f (x)

      = 5 (- x)^3 + 2 (- x)

      = - 5 x^3 - 2 x

      Observe que o resultado nos diz que a função é ímpar porque ela satisfaz a condição i i ) do Passo 1 -> f (- x) = - f (x) . Uma outra opção é adotar, arbitrariamente, um valor de x . Vamos fazer esse teste para que você perceba que iremos encontrar o mesmo resultado.

      Para x = 2

      f (- x) = f (x)

      5 xx (- 2)^3 + 2 xx (- 2) = 5 xx 2^3 + 2 xx 2

      (5 xx ( - 8 )) - 4 = (5 xx 8) + 4

      - 40 - 4 = 40 + 4

      - 44 = 44

    3. Já sabemos que o gráfico da função é simétrico em relação a origem. A seguir está plotado o gráfico da função.

    As nossas suposições iniciais estavam corretas, a função tem simetria na origem e satisfez a condição i i ) . Portanto, a função é ímpar.

    Passo 3

  3. Observando a função, notamos que x está em módulo, o que nos diz que há simetria no eixo Y . Como o segundo termo é uma constante, o gráfico será deslocado no eixo Y , ou seja, seu ponto mínimo não será na origem.
  4. Iremos aplicar os dois métodos, 1 . e 2 . para que não reste dúvidas no caso de haver mais de um ponto mínimo ou máximo na função.

    1. Para que a função seja par f (- x) = f ( x ) , então vamos substituir na equação
    2. f (- x) = f (x)

      = |- x| - 3

      O módulo, ou valor absoluto, de um número real, positivo, é o próprio número. Se se ele for negativo, será o seu simétrico, logo

      = x - 3

      Observe que o resultado nos diz que a função é par porque ela satisfaz a condição i ) do Passo 1 -> f (- x) = f (x) . Vamos fazer o teste com um valor numérico qualquer como fizemos na letra a)

      Para x = 2

      f (- x) = f (x)

      |- 2| - 3 = |2| - 3

      2 - 3 = 2 - 3

      - 1 = - 1

    3. Já sabemos que o gráfico da função é simétrico em relação a origem. A seguir está plotado o gráfico da função.

    As nossas suposições iniciais estavam corretas, a função tem simetria no eixo Y e satisfez a condição i ) . Portanto, a função é par.

    Só falta mais um item, vem comigo!!

    Passo 4

  5. Observando a função, intuitivamente concluímos que o resultado do produto notável vai ter a maior potência igual a 9, o que nos faz acreditar na possibilidade de mais de uma interceptação no eixo X e provavelmente nenhuma simetria em relação ao eixo Y ou a origem.

Para facilitar a resolução vamos estender a equação,

512 x^9 - 576 x^8 + 216 x^7 - 27 x^6

Iremos aplicar os dois métodos, 1 . E 2 . para que não reste dúvidas no caso de haver mais de um ponto mínimo ou máximo na função.

  1. Para que a função seja par f (- x) = f ( x ) , então vamos substituir na equação
  2. f (- x) = f (x)

    = 512 ( - x )^9 - 576 ( - x )^8 + 216 ( - x )^7 - 27 ( - x )^6

    Qualquer valor negativo elevado a uma potência par, seu resultado será positivo. Caso a potência seja ímpar, seu resultado será negativo.

    = - 512 x^9 - 576 x^8 - 216 x^7 - 27 x^6

    Observe que o resultado não satisfaz a condição i ) e i i ) do Passo 1 -> f (- x) = - f (x) e f (- x) = - f ( x ) . Vamos fazer o teste com um valor numérico qualquer como fizemos na letra a) e b)

    Para x = 1

    f (- x) = f (x)

    512 ( - 1 )^9 - 576 ( - 1 )^8 + 216 ( - 1 )^7 - 27 ( - 1 )^6 = 512 xx 1^9 - 576 xx 1^8 + 216 xx 1^7 - 27 xx 1^6

    - 512 - 576 - 216 - 27 = 512 - 576 + 216 - 27

    - 1331 = 125

  3. Já sabemos que o gráfico da função não é simétrico em relação ao eixo Y e a origem. A seguir está plotado o gráfico da função.

As nossas suposições iniciais estavam corretas, a função intercepta o eixo X mais de uma vez, não tem simetria em relação ao eixo Y e a origem e não satisfez as condições i ) e i i ) . Portanto, a função não é par e nem ímpar.

Até a próxima!! =]

Resposta

a ) A f u n ç ã o é í m p a r

b ) A f u n ç ã o é p a r

c ) A f u n ç ã o n ã o é p a r e n e m í m p a r