Determine a parametrização para o plano (em R 3 ) que contém o ponto ( - 3,1 , 0 ) e a reta parametrizada por x = t + 1 y = 1 - t z = t - 1 .

Passo 1

E aí, pessoal, beleza? Bora solucionar mais um!!!

Sejam P um ponto pertencente a um plano Π e v 1 e v 2 dois vetores paralelos a esse plano, mas que não são paralelos entre si. A parametrização desse plano é dada por:

Π =   P + t v 1 + s v 2

Para reais t e s .

Sabendo disso, vamos para o exercício.

Passo 2

Podemos ver imediatamente que o ponto ( - 3,1 , 0 ) não pertence a reta parametrizada por x = t + 1 y = 1 - t z = t - 1 , pois o sistema:

t + 1 = - 3 1 - t = 1 t - 1 = 0

não possui solução, já que na primeira equação obtemos t = - 4 , na segunda obtemos t = 0 e na terceira obtemos t = 1 . Dessa maneira, pegando os pontos P 1 = 1,1 , - 1 (fazendo t = 0 na parametrização) e P 2 = ( 2,0 , 0 ) (fazendo t = 1 na parametrização) da reta, temos que v 1 = 1,1 , - 1 - - 3,1 , 0 = ( 4,0 , - 1 ) e v 2 = 2,0 , 0 - - 3,1 , 0 = ( 5 , - 1,0 ) são vetores paralelos ao plano, mas que não são paralelos entre si. Tendo isso, concluímos que a parametrização do plano é dada por:

Π = - 3,1 , 0 + t 4,0 , - 1 + s 5 , - 1,0

Ou melhor,

x = 5 s + 4 t - 3 y = - s + 1 z = - t

Resposta

x = 5 s + 4 t - 3 y = - s + 1 z = - t