Determine parametrização para a reta (em R 3 ) que pertence ao plano x - y = z - 1 e ao plano 3 x - y + 1 = z .

Passo 1

E aí, pessoal, tudo certo? Vamos para o exercício!!!

Sejam Π 1 e Π 2 planos dados pelas equações a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 e a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 , respectivamente. A reta que pertence a ambos os planos é dada pelo conjunto solução do sistema abaixo:

a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0

Portanto, para parametrizarmos essa reta, devemos simplesmente parametrizar as equações cartesianas acima, o que é feito da seguinte maneira:

1- Definimos as variáveis livres dessas equações como sendo nossos parâmetros.

2- Substituímos essas variáveis livres nas equações pelos parâmetros que elas representam e obtemos os valores das variáveis dependentes em relação a esses parâmetros.

Tendo esse método em mente, vamos para o exercício.

Passo 2

A nossa reta é o conjunto solução do seguinte sistema:

x - y - z + 1 = 0 3 x - y - z + 1 = 0

Subtraindo a segunda equação pela primeira, obtemos o seguinte 2 x = 0 ⇒ x = 0 . Agora, seja y = t , vamos substituir x e y na primeira equação:

0 - t - z + 1 = 0 ⇒ z = - t + 1

Portanto, a parametrização da nossa reta é dada por:

x = 0 y = t z = - t + 1

Resposta

x = 0 y = t z = - t + 1