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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.8 - Ex. 222

Determine os planos paralelos ao plano x + y + z = 0 que cortam a superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 6 z + 6 = 0 segundo uma circunferência de raio r = 1 . Determine os centros dessas circunferências.

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem com vocês? Ótimo, vamos detonar essa questão!

Precisamos calcular a distância entre o centro da esfera e os planos paralelos a x + y + z = 0 , que são da forma x + y + z + a = 0 . Então, temos que começar reescrevendo a equação da esfera na forma reduzida:

x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 6 z + 6 = 0

⇒ x 2 - 2 x + 1 - 1 + y 2 + z 2 - 6 z + 9 - 9 + 6 = 0

⇒ ( x - 1 ) 2 + y 2 + ( z - 3 ) 2 = 4

Assim, vemos que o centro da esfera está localizado em C = ( 1,0 , 3 ) e seu raio é R = 2 .

Agora, podemos calcular a distância entre o centro e os planos x + y + z + a = 0 :

d = d ( π , C ) = | 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 3 + a | 1 + 1 + 1 = | 4 + a | 3

Vamos reservar esse resultado, por enquanto.

Passo 2

Agora, podemos usar o Teorema de Pitágoras

R 2 = d 2 + r 2 ⇒ d 2 = R 2 - r 2 = 4 - 1 = 3 ⇒ d = 3

Vamos substituir d = | 4 + a | 3 na equação

d = 3 ⇒ | 4 + a | 3 = 3

⇒ | 4 + a | = 3

⇒ 4 + a = 3   o u   - 4 - a = 3

⇒ a = - 1   o u   - a = 7

⇒ a = - 1   o u   a = - 7

Então, as equações dos planos se tornam:

x + y + z - 1 = 0

x + y + z - 7 = 0

Passo 3

O próximo é descobrir os centros dessas circunferências. Temos que usar um vetor que saia do centro da esfera C até o centro da circunferência. Esse vetor, C C ' → é proporcional ao vetor normal dos planos, n → = ( 1,1 , 1 ) (ou seja, C C ' → = k n → ) e tem módulo igual a distância desses planos ao centro da esfera, d = | 4 + a | 3 .

Para o plano x + y + z - 1 = 0 , temos

a = - 1

d = | 4 - 1 | 3 = 3 3 = 3

| C C ' → | = | k n → | = k 3 ⇒ k = 1

⇒ C C ' → = k n → = ( 1,1 , 1 )

⇒ C ' = C C ' → + C = ( 1,1 , 1 ) + ( 1,0 , 3 ) = ( 2,1 , 4 )

Para o plano x + y + z - 7 = 0 , temos

a = - 7

d = | 4 - 7 | 3 = 3 3 = 3

| C ' C → | = | k n → | = k 3 ⇒ k = 1

⇒ C ' C → = k n → = ( 1,1 , 1 )

⇒ C ' = - C ' C → + C = - ( 1,1 , 1 ) + ( 1,0 , 3 ) = ( 0 , - 1,2 )

No caso do segundo plano, usamos C ' C → porque agora o sentido desse vetor é oposto ao do vetor usado no primeiro plano. E isso é tudo pessoal! Até a próxima!

Resposta

x + y + z - 1 = 0 , ( 2,1 , 4 )

x + y + z - 7 = 0 , ( 0 , - 1,2 )