Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Geometria Analítica - Reis e Silva - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 10

Determine o ponto da elipse mais próximo da reta 2x-3y+25=0

x 2 18 + y 2 8 = 1

Passo 1

Vamos começar essa questão fazendo o seguinte desenho:

Perceba que o ponto que procuramos é o ponto A, pertencente à reta tangente s

Da equação da elipse temos:

x 2 18 + y 2 8 = 1

y 2 = ( 1 - x 2 18 ) 8

y 2 = 8 18 18 - x 2 = 4 9 18 - x 2

y = 2 3 18 - x 2

Iremos ignorar o caso negativo pois no nosso ponto A, temos que o y é positivo

Derivando essa equação achamos:

y ' = 2 3 ( - 2 x 2 18 - x 2 )

y ' = - 2 x 3 18 - x 2

Passo 2

Pela equação da reta r:

r :   2 x - 3 y + 25 = 0

y = 2 3 x + 25 3

Logo o coeficiente angular da reta r é 2 3 , como a reta s é paralela com a reta r, temos que sua inclinação é 2 3 também, logo:

y a ' = - 2 x a 3 18 - x a 2 = 2 3

Daqui tiramos que x a = - 3

Passo 3

Ou seja, como temos o valor de x podemos substituir na equação inicial de y:

y = 2 3 18 - x 2

y a = 2 3 ( 18 - 9 )

y a = 2

Então A = (-3,2)

Resposta

(-3,2)

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