Determine o ponto de interseção da reta

x   =   1   +   t

y   =   -   2

z   = 4 + 2   t

com cada um dos seguintes planos;

a)   x   -   2 y   +   3 z   =   8 ;

b) 2 x   +   z   =   5 ;

c) x   =   2 .

Passo 1

a)   x   -   2 y   +   3 z   =   8

Vamos substituir os valores de x , y , z da reta na equação do plano:

( 1 + t ) - 2 ( 2 ) + 3 ( 4 + 2 t ) = 8

1 + t - 4 + 12 + 6 t = 8

7 t = - 1

t = - 1 7

Então, o ponto de interseção é aquele obtido pelo parâmetro t = - 1 7 . Vamos substituir esse valor nas equações da reta:

x   =   1   - 1 7 = 6 7

y   =   -   2

z   = 4 - 2 7 = 26 7

O ponto de interseção é ( 6 7 , - 2 , 26 7 )

Passo 2

b) 2 x   +   z   =   5

Vamos substituir os valores de x , y , z da reta na equação do plano:

2 ( 1 + t ) + ( 4 + 2 t ) = 5

2 + 2 t + 4 + 2 t = 5

4 t = - 1

t = - 1 4

Então, o ponto de interseção é aquele obtido pelo parâmetro t = - 1 4 . Vamos substituir esse valor nas equações da reta:

x   =   1   +   - 1 4 = 3 4

y   =   -   2

z   = 4 + - 2 4 = 7 2

O ponto de interseção é ( 3 4 , - 2 , 7 2 )

Passo 3

c) x   =   2

Vamos substituir os valores de x , y , z da reta na equação do plano:

( 1 + t ) = 2

t = 1

Então, o ponto de interseção é aquele obtido pelo parâmetro t = 1 . Vamos substituir esse valor nas equações da reta:

x   =   1   +   1 = 2

y   =   -   2

z   = 4 + 2   . 1 = 6

O ponto de interseção é ( 2 , - 2,6 )

Resposta

a) ( 6 7 , - 2 , 26 7 )

b) ( 3 4 , - 2 , 7 2 )

c) ( 2 , - 2,6 )