Determine se é ponto, reta ou plano

a) 1 ,   2 ,   1 ,   2 ,   1   +     < 0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 + - 1 ,   2 ,   1 ,   2 ,   1 >

b) 1 ,   2 ,   1 ,   1   +   < 1 ,   2 ,   1 ,   3 ,   1 ,   2 ,   1 ,   4 >

c) 1 ,   2 ,   1 ,   1   +   < 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   0 ,   2 ,   0 ,   2 ,   1 ,   3 ,   1 ,   3 >

d) 2 ,   0 ,   2 ,   0   +   < 1 ,   2 ,   0 ,   0 ,   1 ,   1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 >

e) 0 ,   0 ,   0 ,   0   +   < 0 ,   0 ,   0 ,   0 >  

f) v   +   < u ,   - u ,   3 u > , u ≠ 0

Passo 1

a) Como 0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 é múltiplo de ( - 1 ,   2 ,   1 ,   2 ,   1 ) , segue que < 0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 + - 1 ,   2 ,   1 ,   2 ,   1 >   =   < - 1 ,   2 ,   1 ,   2 ,   1 > , e assim 1 ,   2 ,   1 ,   2 ,   1   +     < 0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 + - 1 ,   2 ,   1 ,   2 ,   1 >   =   1 ,   2 ,   1 ,   2 ,   1   +   <   - 1 ,   2 ,   1 ,   2 ,   1 > é uma reta em R 5 .

b) Tendo que os vetores ( 1 ,   2 ,   1 ,   3 ) e ( 1 ,   2 ,   1 ,   4 ) são linearmente independentes, podemos concluir que o conjunto em questão é um plano no R 4 .

c) Temos que:

1 ,   3 ,   1 ,   3 = 1 ,   1 ,   1 ,   1 + ( 0 ,   2 ,   0 ,   2 )

Ou seja, o vetor ( 1 ,   3 ,   1 ,   3 )   é uma combinação linear dos outros dois, de forma que < 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   0 ,   2 ,   0 ,   2 ,   1 ,   3 ,   1 ,   3 >   =   < 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   0 ,   2 ,   0 ,   2 > , e assim 1 ,   2 ,   1 ,   1   +   < 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   0 ,   2 ,   0 ,   2 ,   1 ,   3 ,   1 ,   3 >   = 1 ,   2 ,   1 ,   1   +   < 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   0 ,   2 ,   0 ,   2 > é um plano em R 4 , já que os vetores ( 1 ,   1 ,   1 ,   1 ) e ( 0 ,   2 ,   0 ,   2 ) são linearmente independentes.

d) Como ( 0 ,   0 ,   0 ,   0 ) é uma combinação linear dos vetores ( 1 ,   2 ,   0 ,   0 ) e ( 1 ,   1 ,   1 ,   0 ) segue que < 1 ,   2 ,   0 ,   0 ,   1 ,   1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 >   =   < 1 ,   2 ,   0 ,   0 ,   1 ,   1 ,   1 ,   0 > , e assim 2 ,   0 ,   2 ,   0   +   < 1 ,   2 ,   0 ,   0 ,   1 ,   1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 >   =   2 ,   0 ,   2 ,   0   +   < 1 ,   2 ,   0 ,   0 ,   1 ,   1 ,   1 ,   0 > é um plano em R 4 , já que os vetores ( 1 ,   2 ,   0 ,   0 ) e ( 1 ,   1 ,   1 ,   0 ) são linearmente independentes.

e) Sabendo que < 0 ,   0 ,   0 ,   0 >   = ( 0 ,   0 ,   0 ,   0 ) , segue que 0 ,   0 ,   0 ,   0   +   < 0 ,   0 ,   0 ,   0 >   =   0 ,   0 ,   0 ,   0   +   0 ,   0 ,   0 ,   0 = ( 0 ,   0 ,   0 ,   0 )   é um ponto.

f) Como - u e 3 u são múltiplos de u , concluímos que < u ,   - u ,   3 u >   =   < u > , e assim v +   < u ,   - u ,   3 u >   = v   +   < u > é uma reta.

Resposta

a) Reta.

b) Plano.

c) Plano.

d) Plano.

e) Ponto.

f) Reta.