Determine o ponto simétrico do ponto ( 3,4 , - 3 ) em relação ao plano α { x + 3   y - z + 4 = 0 .

Passo 1

Fala, galerinha! A primeira coisa que temos que fazer é tentar encontrar a projeção ortogonal do ponto P = ( 3,4 , - 3 ) em relação ao plano α { x + 3   y - z + 4 = 0 . Para isso, vamos considerar que essa projeção é do tipo P ' = ( a , b , c ) . Então, o vetor saindo de P até P ' deve ter a mesma direção do vetor normal do plano n → = ( 1,3 , - 1 ) . Agora, vamos calcular o outro vetor

P P ' → = P ' - P = ( a , b , c ) - ( 3,4 , - 3 ) = ( a - 3 , b - 4 , c + 3 )

Como P P ' → = k n → , então

a - 3 = k

b - 4 = 3 k

c + 3 = - k

Comparando o lado direito da primeira e da terceira equações, vemos que

c + 3 = - a + 3 ⇒ c = - a

Podemos fazer o mesmo comparando a primeira equação com a segunda

b - 4 = 3 a - 9 ⇒ b = 3 a - 5

Passo 2

No passo anterior, descobrimos que o ponto P ' pode ser escrito como P ' = ( a , 3 a - 5 , - a ) . Mas, esse ponto está no plano, então ele deve satisfazer a equação do plano, certo? Certo! Então, vamos substituir as coordenadas do ponto na equação do plano:

x + 3   y - z + 4 = 0 ⇒ a + 3   ⋅ ( 3 a - 5 ) - ( - a ) + 4 = 0

⇒ a + 9 a - 15 + a + 4 = 0

⇒ 11 a - 11 = 0

⇒ a = 1

Assim, P ' = ( 1 , - 2 , - 1 ) . Também vai ser útil recalcular o vetor P P ' → :

P P ' → = P ' - P = ( 1 , - 2 , - 1 ) - ( 3,4 , - 3 ) = ( - 2 , - 6,2 )

Passo 3

Agora que temos P ' = ( 1 , - 2 , - 1 ) e P P ' → = ( - 2 , - 6,2 ) , dá para escrever as equações da reta que passa por P = ( 3,4 , - 3 ) e P ' :

P P ' :   x = 3 - 2 t ,   y = 4 - 6 t ,   z = - 3 + 2 t

Quando t = 0 , temos o ponto P = ( 3,4 , - 3 ) . Quando t = 1 , temos P ' = ( 1 , - 2 , - 1 ) . Então, quando t = 2 nós vamos chegar no ponto P ' ' que é o ponto simétrico de P em relação ao plano. Vamos substituir t = 2 na equação da reta P P ' para obter esse ponto:

P P ' :   x = 3 - 2 ⋅ 2 = - 1 ,   y = 4 - 6 ⋅ 2 = - 8 ,   z = - 3 + 2 ⋅ 2 = 1

⇒ P ' ' = ( - 1 , - 8,1 )

Resposta

P ' ' = ( - 1 , - 8,1 )