Determine o ponto simétrico do ponto em relação ao plano .
Passo 1
Fala, galerinha! A primeira coisa que temos que fazer é tentar encontrar a projeção ortogonal do ponto em relação ao plano . Para isso, vamos considerar que essa projeção é do tipo . Então, o vetor saindo de até deve ter a mesma direção do vetor normal do plano . Agora, vamos calcular o outro vetor
Como , então
Comparando o lado direito da primeira e da terceira equações, vemos que
Podemos fazer o mesmo comparando a primeira equação com a segunda
Passo 2
No passo anterior, descobrimos que o ponto pode ser escrito como . Mas, esse ponto está no plano, então ele deve satisfazer a equação do plano, certo? Certo! Então, vamos substituir as coordenadas do ponto na equação do plano:
Assim, . Também vai ser útil recalcular o vetor :
Passo 3
Agora que temos e , dá para escrever as equações da reta que passa por e :
Quando , temos o ponto . Quando , temos . Então, quando nós vamos chegar no ponto que é o ponto simétrico de em relação ao plano. Vamos substituir na equação da reta para obter esse ponto: