Determine os pontos da reta r {   x = 3 + 2 m ;   y   = 1 + 3 m ;   z   = 9 + 6 m cuja distância ao ponto P   =   ( 1 , - 2,3 ) seja igual a 7 .

Passo 1

Fala, galera! Aqui, nós temos que ficar espertos que qualquer ponto da reta r pode ser escrito como Q = (   3 + 2 m , 1 + 3 m , 9 + 6 m ) . Então, deve ter algum m para o qual a distância do ponto até P   =   ( 1 , - 2,3 ) seja igual a 7 . Nosso objetivo é encontrar esse valor de m e substituir em Q .

O vetor ligando os dois pontos é dado por

P Q → = Q - P = (   3 + 2 m , 1 + 3 m , 9 + 6 m ) - ( 1 , - 2,3 ) = ( 2 + 2 m ,   3 + 3 m , 6 + 6 m )

Passo 2

Queremos que o módulo desse vetor seja igual a 7 :

| P Q → | = ( 2 + 2 m ) 2 + ( 3 + 3 m ) 2 + ( 6 + 6 m ) 2 = 7

⇒ ( 2 + 2 m ) 2 + ( 3 + 3 m ) 2 + ( 6 + 6 m ) 2 = 49

⇒ 4 + 8 m + 4 m 2 + 9 + 18 m + 9 m 2 + 36 + 72 m + 36 m 2 = 49

⇒ 49 m 2 + 98 m + 49 = 49 ⇒ 49 m 2 + 98 m = 0

⇒ 49 m ( m + 2 ) = 0 ⇒ m = 0 ,   m = - 2

Esses valores de m correspondem aos pontos:

m = 0 :   (   3 + 2 m , 1 + 3 m , 9 + 6 m ) = ( 3,1 , 9 )

m = - 2 :     (   3 + 2 m ,   1 + 3 m , 9 + 6 m ) = ( - 1 , - 5 , - 3 )

Resposta

m = 0 :   (   3 +   2 m ,   1 + 3 m ,   9 +   6 m ) = (   3 ,   1 ,   9 )

m = - 2 :     (   3 +   2 m ,   1 + 3 m ,   9 +   6 m ) = (   - 1 ,   - 5 ,   - 3 )