Determine a projeção ortogonal do ponto P ( 2,4 ) sobre a reta:

x = 1 + 2 t

y = - 1 + 3 t

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão ele pede para determinarmos a projeção ortogonal de ponto P 2,4 sabendo que,

x = 1 + 2 t

y = - 1 + 3 t

Calma que esta vai ser de boa rs

Passo 2

Sabendo que,

x = 1 + 2 t

y = - 1 + 3 t temos,

x = 1 + 2 t   y = - 1 + 3 t

t = x - 1 2 t ( y + 1 ) 3

Ficando,

x - 1 2 = y + 1   3

3 x - 3 = 2 y + 2

2 y = 3 x - 5

y = 1,5 x - 2,5

Passo 3

Sabe-se que retas ortogonais tem produto dos seus coeficientes angulares igual a     - 1 . Logo, a reta acima, da forma:

y = a x + b ,     tal que

a 1,5 = - 1

a = - 2 3

Porém essa reta passa pelo ponto ( 2,4 )

y = - 2 3 x + b

y = - 2 3 . 2 + b  

b = 4 + 4 3

b = 16 3

Logo a reta que é ortogonal à y = 1,5 x - 2,5   e passa pelo ponto P 2,4 y = - 2 3 x + 16 3

Com isso a projeção ortogonal do ponto P na reta y = 1,5 x - 2,5 será interseção dessas duas retas, ficando

1,5 x - 2,5 = - 2 3 x + 16 3

x 3 2 + 2 3 = 5 2 + 16 3

x 9 6 + 4 6 = 15 6 + 32 6

x 13 6 = 47 6

x = 47 13

Logo os pontos ficam 47 13 , 38 13

Resposta

47 13 , 38 13