Determine m real, tal que u → = ( m + 4 , - 1,2 ) , v → = ( 0 , m + 4,3 ) e w →   =   ( 0 ,   m + 1 ,   - 6 ) fiquem coplanares, porém dois a dois não paralelos. A seguir, expresse w → como combinação linear de u → e v → .

Passo 1

Vamos começar calculando o determinante e igualando a zero para que u → , v → e w →   sejam coplanares:

⇒ ( - 6 m - 24   - 3 m - 3 ) ⋅ ( m + 4 ) - 0 ⋅   ( - 1 ) + 0   ⋅ 2 = 0

⇒ ( - 9 m - 27 ) ⋅ ( m + 4 ) = 0

⇒ - 9 m 2 - 27 m   - 36 m   - 108 = 0

⇒ - 9 m 2 - 63 m   - 108 = 0

⇒ m 2 + 7 m   + 12 = 0

⇒ m   =   - 7   ± 49 - 48 2 = - 7 ± 1 2   ⇒   m   =   - 4   o u   m =   - 3

Vamos testar os dois valores de m   . Começando com m   =   - 4 :

u → = ( 0 , - 1,2 ) , v → = ( 0,0 , 3 ) e w →   =   ( 0 ,   - 3 ,   - 6 )

Para m   =   - 3 :

u → = ( 1 , - 1,2 ) , v → = ( 0,1 , 3 ) e w →   =   ( 0 ,   - 2 ,   - 6 )

nesse caso, temos w →   =   - 2 v → e isso não satisfaz a condição dos vetores serem dois a dois não paralelos. Então m   =   - 3 é inválido. Restando o resultado de m   =   - 4

Passo 2

Vamos escrever w → como combinação linear dos outros dois vetores:

w →   =   a u →   +   b v →   ⇒ ( 0 ,   - 3 ,   - 6 )   =   a ( 0 , - 1,2 )   + b ( 0,0 , 3 )  

⇒ ( 0 , - 3 , - 6 ) = ( 0 , - a , 2 a   +   3 b )

Assim, temos que a   =   3 e 2 a   +   3 b   =   - 6   ⇒   b   =   - 4 . Logo,

w →   =   a u →   +   b v →   = 3 u →   - 4 v →

Resposta

m   =   - 4 e w →   =   3 u →   -   4 v →