Determine a representação matricial e inversa (se for possível) a TL: T x , y , z = ( x + z , x - z , y ) .

Passo 1

E aí, gente, tudo certo? Vamos para a questão!!!

Seja T uma transformação linear que leva um vetor do espaço vetorial V de dimensão n para um vetor do espaço vetorial W de dimensão m . Seja também β = { v 1 , … , v n } uma base de V e γ = { w 1 , … ,   w m } uma base de W . A matriz M = [ a i j ] que representa essa transformação linear é uma matriz m × n , a qual sua coluna j é formada pelas coordenadas do vetor T v j ∈ W em relação a base γ . Ou seja,

T v j = ∑ i = 1 m a i j w i   ,   j = 1,2 , … , n

Sabendo disso, vamos para o exercício.

Passo 2

Como não foi especificada nenhuma base, vamos trabalhar com a base canônica. Temos que:

T 1,0 , 0 = 1 + 0,1 - 0,0 = ( 1,1 , 0 )

T 0,1 , 0 = 0 + 0,0 - 0,1 = ( 0,0 , 1 )

T 0,0 , 1 = 0 + 1,0 - 1,0 = ( 1 , - 1,0 )

Portanto, a representação matricial de T é dada por:

1 0 1 1 0 - 1 0 1 0

Agora, vamos descobrir a inversa dessa matriz através do escalonamento:

1 0 1 | 1 0 0 1 0 - 1 | 0 1 0 0 1 0 | 0 0 1 → l 2 = l 2 - l 1   1 0 1 | 1 0 0 0 0 - 2 | - 1 1 0 0 1 0 | 0 0 1 → l 2 ↔ l 3    

1 0 1 | 1 0 0 0 1 0 | 0 0 1 0 0 - 2 | - 1 1 0 → l 3 = - l 3 2   1 0 1 | 1 0 0 0 1 0 | 0 0 1 0 0 1 | 1 2 - 1 2 0 → l 1 = l 1 - l 3

1 0 0 | 1 2 1 2 0 0 1 0 | 0 0 1 0 0 1 | 1 2 - 1 2 0

Portanto, a inversa da matriz que representa a transformação linear T , é dada por:

1 2 1 2 0 0 0 1 1 2 - 1 2 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)