Determine se é rotação, reflexão ou projeção ortogonal e eixo de rotação ou plano de reflexão/projeção de

1 8 7 2 √ 3 2 4 - 2 √ 3 √ 3 - 2 √ 3 5

Passo 1

E aí, pessoal, bora resolver mais um??!!

Devemos levar em conta o seguinte:

1- A rotação sempre possui o autovalor 1 .

2- A reflexão sempre possui os autovalores 1 e - 1 .

3- A projeção sempre possui os autovalores 1 e 0 .

Sabendo disso, vamos para o exercício!!!

Passo 2

Inicialmente, vamos descobrir os autovalores da nossa transformação T , para isso vamos descobrir as raízes do seu polinômio característico p ( λ ) :

p λ = 0 ⇔ d e t 7 8 - λ 2 8 3 8 2 8 4 8 - λ - 2 3 8 3 8 - 2 3 8 5 8 - λ = 0 ⇔   - λ λ 2 - 2 λ + 1 = 0  

Para que o produto do lado esquerdo da última equação seja 0 devemos ter λ = 0 ou λ 2 - 2 λ + 1 = 0 , onde essa última equação nos oferece a raiz λ = 1 . Portanto, nossa transformação T possui os autovalores 0 e 1 , donde concluímos pelo passo 1 que ela é uma projeção ortogonal.

Passo 3

Agora devemos descobrir o plano de projeção, ou seja, devemos descobrir o autoespaço associado ao autovalor 1 . Para isso, devemos resolver o sistema abaixo:

7 8 - 1 2 8 3 8 2 8 4 8 - 1 - 2 3 8 3 8 - 2 3 8 5 8 - 1 x y z = 0 0 0 ⇔ - 1 8 1 4 3 8 1 4 - 1 2 - 3 4 3 8 - 3 4 - 3 8 x y z = 0 0 0

Escalonando a matriz de coeficientes obtemos a matriz abaixo:

- 1 8 1 4 3 8 0 0 0 0 0 0

Que nos oferece a solução z = x 3 - 2 y 3 , ou seja, o plano de projeção é dado por < 1 ,   0 , 1 3 ,   0 ,   1 ,   - 2 3 > .

Resposta

T é uma projeção ortogonal no plano   < 1 ,   0 , 1 3 ,   0 ,   1 ,   - 2 3 > .