Determine se é rotação, reflexão ou projeção ortogonal e eixo de rotação ou plano de reflexão/projeção de
Passo 1
E aí, pessoal, bora resolver mais um??!!
Devemos levar em conta o seguinte:
1- A rotação sempre possui o autovalor .
2- A reflexão sempre possui os autovalores e .
3- A projeção sempre possui os autovalores e .
Sabendo disso, vamos para o exercício!!!
Passo 2
Inicialmente, vamos descobrir os autovalores da nossa transformação , para isso vamos descobrir as raízes do seu polinômio característico :
Para que o produto do lado esquerdo da última equação seja devemos ter ou , onde essa última equação nos oferece a raiz . Portanto, nossa transformação possui os autovalores e , donde concluímos pelo passo 1 que ela é uma projeção ortogonal.
Passo 3
Agora devemos descobrir o plano de projeção, ou seja, devemos descobrir o autoespaço associado ao autovalor . Para isso, devemos resolver o sistema abaixo:
Escalonando a matriz de coeficientes obtemos a matriz abaixo:
Que nos oferece a solução , ou seja, o plano de projeção é dado por .
Resposta
é uma projeção ortogonal no plano .