Determine se é rotação, reflexão ou projeção ortogonal e eixo de rotação ou plano de reflexão/projeção de

0   - 1   0   0   0   - 1   1   0   0  

Passo 1

E aí, pessoal, bora resolver mais um??!!

Devemos levar em conta o seguinte:

1- A rotação sempre possui o autovalor 1 .

2- A reflexão sempre possui os autovalores 1 e - 1 .

3- A projeção sempre possui os autovalores 1 e 0 .

Sabendo disso, vamos para o exercício!!!

Passo 2

Inicialmente, vamos descobrir os autovalores da nossa transformação T , para isso vamos descobrir as raízes do seu polinômio característico p ( λ ) :

p λ = 0 ⇔ d e t d e t   - λ   - 1   0   0   - λ   - 1   1   0   - λ   = 0 ⇔   - λ 3 + 1 = 0 ⇔ λ 3 = 1 ⇔ λ = 1  

Portanto, o único autovalor de T é 1 , donde concluímos pelo que foi dito acima que T é uma rotação. Para descobrir qual é o eixo de rotação, devemos calcular o autoespaço relacionado ao autovalor 1 , ou seja, devemos resolver o sistema linear homogêneo abaixo:

- 1   - 1   0   0   - 1   - 1   1   0   - 1   x   y   z   = 0   0   0  

Escalonando a matriz de coeficientes obtemos o seguinte:

- 1   - 1   0   0   - 1   - 1   0   0   0  

Ou seja, a solução do sistema é x = z e y = - z . Portanto, T é uma rotação ao redor do eixo < 1 , - 1,1 > .

Passo 3

Basta agora descobrirmos qual é o ângulo de rotação de T . Para isso, devemos descobrir o ângulo entre um vetor v pertencente ao plano de rotação de T e o vetor T v obtido após a rotação. Antes de mais nada, vamos descobrir qual é o plano de rotação de T . Esse plano é formado pelo conjunto de vetores ( x , y , z ) que são ortogonais ao vetor ( 1 , - 1,1 ) , ou seja:

< x , y , z ,   1 , - 1,1 >   = 0 ⇔ x - y + z = 0

Portanto, o plano de rotação de T é dado por < 1,0 , - 1 ,   0,1 , 1 > . Consideramos o vetor v = ( 1,0 , - 1 ) pertencente a esse plano e T v = - 1   - 1   0   0   - 1   - 1   1   0   - 1   1   0   - 1   = 0   1   1  

, o ângulo de rotação θ é tal que:

c o s c o s   θ   =   < v , T v > v T v ⇒ c o s c o s   θ   =   < 1,0 , - 1 ,   0,1 , 1 > 1,0 , - 1 0,1 , 1 ⇒ c o s c o s   θ   =   - 1 2 × 2 = - 1 2 ⇒

θ = a r c s e n - 1 2 = 120 °

Finalmente, podemos concluir que T é uma rotação de 120 ° em torno do eixo < 1 , - 1,1 > .

Resposta

T é uma rotação de 120 ° em torno do eixo < 1 , - 1,1 > .