Determine se é rotação, reflexão ou projeção ortogonal e eixo de rotação ou plano de reflexão/projeção de
Passo 1
E aí, pessoal, bora resolver mais um??!!
Devemos levar em conta o seguinte:
1- A rotação sempre possui o autovalor .
2- A reflexão sempre possui os autovalores e .
3- A projeção sempre possui os autovalores e .
Sabendo disso, vamos para o exercício!!!
Passo 2
Inicialmente, vamos descobrir os autovalores da nossa transformação , para isso vamos descobrir as raízes do seu polinômio característico :
Portanto, o único autovalor de é , donde concluímos pelo que foi dito acima que é uma rotação. Para descobrir qual é o eixo de rotação, devemos calcular o autoespaço relacionado ao autovalor , ou seja, devemos resolver o sistema linear homogêneo abaixo:
Escalonando a matriz de coeficientes obtemos o seguinte:
Ou seja, a solução do sistema é e . Portanto, é uma rotação ao redor do eixo .
Passo 3
Basta agora descobrirmos qual é o ângulo de rotação de . Para isso, devemos descobrir o ângulo entre um vetor pertencente ao plano de rotação de e o vetor obtido após a rotação. Antes de mais nada, vamos descobrir qual é o plano de rotação de . Esse plano é formado pelo conjunto de vetores que são ortogonais ao vetor , ou seja:
Portanto, o plano de rotação de é dado por . Consideramos o vetor pertencente a esse plano e
, o ângulo de rotação é tal que:
Finalmente, podemos concluir que é uma rotação de em torno do eixo .
Resposta
é uma rotação de em torno do eixo .